9. 【综合与实践】如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 108°，在线段 BC 上找一点 D(与 B，C 不重合)，使得△ABD 和△ACD 均为等腰三角形。
(1)一名同学的作法如下：如图①，以点 B 为圆心，以点 BA 的长为半径画弧，与 BC 交于点 D，连接 AD。请根据这种作法说明△ABD 和△ACD 均为等腰三角形。
(2)尺规作图：请在图②中用另外一种方法找出点 D。(要求：保留作图痕迹，不写作法)

9. 解:(1)
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠B=∠C=36°。
由作图得 AB=BD,
∴∠BAD=∠ADB=72°,
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=36°,
∴∠DAC=∠C,
∴AD=CD,
∴△ABD 和△ACD 均为等腰三角形。
(2)如图,点 D 为所求。

10. 【综合与实践】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题。
【模型理解】
(1)如图①，△ABC，△ADE 共顶点 A，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，连接 BD，CE。可以通过推理得到△ABD ≌ △ACE，进而得到 BD = ，∠ABD = 。

【问题研究】
(2)小明在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题。
如图②，已知直线 a，b 及点 P，a 与 b 不平行。作等腰直角三角形 PAB，使得点 A，B 分别在直线 a，b 上。
小明的作法简述如下：如图③，过点 P 作 PD⊥a，垂足为点 D，以 P 为直角顶点作等腰直角三角形 PDE，过点 E 作 EB⊥PE，交 b 于点 B，在 a 上截取 DA = BE，连接 AB，AP，BP。△PAB 为所要求作的等腰直角三角形。
请证明小明的作法是正确的。
【深入研究】
小明经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形 PAB，使得点 A，B 分别在直线 a，b 上。
(3)请你在图④中画出示意图，并简述作法。(要求用尺规作图)

10. (1)CE ∠ACE
(2)证明:
∵△PDE 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形,
∴PE=PD,∠DPE=90°。
∵EB⊥PE,PD⊥a,
∴∠PEB=∠PDA=90°。
在△PEB 和△PDA 中,
{EB=DA,
∠PEB=∠PDA,
PE=PD,
∴△PEB≌△PDA(SAS),
∴PB=PA,∠BPE=∠APD,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠APE+∠APD=∠DPE=90°,
∴△PAB 为所要求作的等腰直角三角形。
(3)解:如图,△PAB 就是所要求作的等边三角形。

作法:①作 PF⊥a 于点 F;
②以 PF 为边在 PF 右侧作等边三角形 PFG;
③以 FG 为边在 FG 上方作等边三角形 FGH;
④连接 PH 交直线 a 于点 I;
⑤连接并延长 IG 交直线 b 于点 B;
⑥在射线 FI 上取一点 A,连接 PB,PA,使 PA=PB;
⑦连接 AB。
△PAB 就是所要求作的等边三角形。