6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，垂足分别为 $D$，$E$，连接 $DE$。求证：四边形 $BCDE$ 是等腰梯形。

证明：​∵CE⊥ AB​，​BD⊥ AC​，
​∴∠ BDA=∠ CEA = 90°​。
在等腰三角形​ABC​中，​AB = AC​，
​∴∠ ABC=∠ ACB​，
在​△ ABD​和​△ ACE​中，
​∴△ ABD≌△ ACE​。
​∴AE = AD​。
​∴AB - AE = AC - AD​，即​BE = CD​，
​∴∠ AED=∠ ADE​。
​∵∠ ABC+∠ ACB+∠ A = 180°​，
​∠ AED+∠ ADE+∠ A = 180°​，
​∴∠ AED=∠ ABC​。
​∴DE// BC​。
又​∵BE​与​CD​不平行，
​∴​四边形​BCDE​是梯形，
​∴​四边形​BCDE​是等腰梯形。

7. 定义：连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线。
如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点。通过观察、测量，猜想梯形中位线 $EF$ 和上底 $AD$、下底 $BC$ 有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论。（提示：联系梯形、三角形和平行四边形之间的关系）

 解：结论：​EF// AD// BC​，$​EF=\frac {1}{2}(AD + BC)​$。
证明如下：如图所示，连接​AF​并延长交​BC​的延长线于点​G​。
​∵AD// BC​，​∴∠ DAF=∠ G​，
在​△ ADF​和​△ GCF​中，​
∠ DAF=∠ G​，​∠ DFA=∠ CFG​，​DF = FC​，​
∴△ ADF≌△ GCF​，​
∴AF = FG​，​AD = CG​。
又​∵AE = EB​，​∴EF// BG​，$​EF=\frac {1}{2}BG​$，
即​EF// AD// BC​，$​EF=\frac {1}{2}(AD + BC)​$。