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4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是()。
A.∠B=∠F
B.∠B=∠BCF
C.AC=CF
D.AD=CF
A.∠B=∠F
B.∠B=∠BCF
C.AC=CF
D.AD=CF
答案
B
解析
∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AC，DE=1/2AC。要使四边形ADFC为平行四边形，需DF//AC且DF=AC。已知DE//AC，故只需EF=DE，即DF=AC。若∠B=∠BCF，则CF//AB，又DE//AC，∴四边形ADFC两组对边分别平行，为平行四边形。
5.【跨学科】如图，小明和小亮两人被一处池塘隔开，小明在点A处发出声音，经过2.5 s，站在点B处的小亮接收到声音。设AC，BC的中点分别为M，N，若小明和小亮分别沿着AC，BC走到点M，N处，此时，小明在点M处发出声音，小亮在点N处接收到声音所需时间为s。
答案
已知声音在空气中的传播速度可视为一定值，设为$v$（$m/s$），根据公式$s = vt$（其中$s$为路程，$t$为时间），$AB$长：$s_{AB}=v×2.5 = 2.5v$。
因为$M$、$N$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$MN$是$△ ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，可得$MN=\frac{1}{2}AB$。
$s_{MN}=\frac{1}{2}s_{AB}=\frac{1}{2}×2.5v = 1.25v$。
那么小明在点$M$处发出声音，小亮在点$N$处接收到声音所需时间$t_{MN}=\frac{s_{MN}}{v}=\frac{1.25v}{v}= 1.25$（$s$）。
故答案为：$1.25$。
因为$M$、$N$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$MN$是$△ ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，可得$MN=\frac{1}{2}AB$。
$s_{MN}=\frac{1}{2}s_{AB}=\frac{1}{2}×2.5v = 1.25v$。
那么小明在点$M$处发出声音，小亮在点$N$处接收到声音所需时间$t_{MN}=\frac{s_{MN}}{v}=\frac{1.25v}{v}= 1.25$（$s$）。
故答案为：$1.25$。
6.【综合与实践】如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，EF叫作梯形的中位线。小丽结合学习三角形的中位线定理的经验对线段EF，AD与BC之间的位置和数量关系做了如下猜想：EF//AD//BC，EF=$\frac{1}{2}$(AD+BC)，并做了证明。
证明：如图①，连接AF并延长，交BC的延长线于点G。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠GCF。
……
(1)请将证明过程补充完整。
(2)如图②，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P，且点P在梯形的中位线EF上。若梯形ABCD的周长为24 cm，则EF的长为cm。
证明：如图①，连接AF并延长，交BC的延长线于点G。
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠GCF。
……
(1)请将证明过程补充完整。
(2)如图②，在梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P，且点P在梯形的中位线EF上。若梯形ABCD的周长为24 cm，则EF的长为cm。
答案
(1)
证明：如图①，连接$AF$并延长，交$BC$的延长线于点$G$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADF = ∠ GCF$。
在$△ ADF$和$△ GCF$中，
$\begin{cases}∠ ADF = ∠ GCF \\ ∠ AFD = ∠ GFC \\ DF = CF\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ GCF(AAS)$。
$\therefore AF = FG$，$AD = CG$。
在$△ ABG$中，
$\because E$为$AB$的中点，$F$为$AG$的中点，
$\therefore EF// BG$，$EF=\frac{1}{2}BG$。
又$\because BG = BC + CG=BC + AD$，
$\therefore EF// AD// BC$，$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$。
(2)
分别延长$BE$，$CD$交于点$M$。
因为$EF$是梯形$ABCD$的中位线，所以$AD// EF// BC$，$AB = 2AE$，$CD = 2CF$。
因为$∠ ABC$和$\∠DCB$的平分线相交于点$P$，且点$P$在梯形的中位线$EF$上，
延长$BE$交$CD$于$M$（构造全等条件），
因为$EF// BC$，所以$∠ a= ∠ PBC$，
又因为$BP$为$∠ ABC$的平分线，
所以$∠ ABP = ∠ PBC$，
所以$∠ EBP= ∠ EPB$，
所以$EB = EP$，
又因为$∠ FEP=∠ FPE$（对顶角相等），
在$△ MFP$和$△ BCP$中，
$\begin{cases}∠ MFP =∠ BCP\\ ∠ FPM=∠ CPB \\ EP = EB\end{cases}$
先看$△ AEB$和$△ MEP$，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ MEP \\ EB = EP\\∠ EBA=∠ EMP\end{cases}$
所以$△ AEB≌△ MEP(ASA)$，
同理$△ FEP≌△ FCP$，
所以$AB = EM$，$DF = FM$，
因为梯形$ABCD$的周长为$24cm$，
即$AB + BC+CD + AD = 24$，
又因为$AB = EM$，$CD = 2CF$，
且$EM + MD=AB + BC + CD+AD - 2EF$（通过线段关系推导），
而$MD = BC$（由全等三角形等得到），
所以$2(AD + BC)=24 - 2EF$，
由$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$，
即$4EF=24 - 2EF$，
$6EF = 24$，
解得$EF = 6cm$。
故答案为：$6$。
证明：如图①，连接$AF$并延长，交$BC$的延长线于点$G$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADF = ∠ GCF$。
在$△ ADF$和$△ GCF$中，
$\begin{cases}∠ ADF = ∠ GCF \\ ∠ AFD = ∠ GFC \\ DF = CF\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ GCF(AAS)$。
$\therefore AF = FG$，$AD = CG$。
在$△ ABG$中，
$\because E$为$AB$的中点，$F$为$AG$的中点，
$\therefore EF// BG$，$EF=\frac{1}{2}BG$。
又$\because BG = BC + CG=BC + AD$，
$\therefore EF// AD// BC$，$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$。
(2)
分别延长$BE$，$CD$交于点$M$。
因为$EF$是梯形$ABCD$的中位线，所以$AD// EF// BC$，$AB = 2AE$，$CD = 2CF$。
因为$∠ ABC$和$\∠DCB$的平分线相交于点$P$，且点$P$在梯形的中位线$EF$上，
延长$BE$交$CD$于$M$（构造全等条件），
因为$EF// BC$，所以$∠ a= ∠ PBC$，
又因为$BP$为$∠ ABC$的平分线，
所以$∠ ABP = ∠ PBC$，
所以$∠ EBP= ∠ EPB$，
所以$EB = EP$，
又因为$∠ FEP=∠ FPE$（对顶角相等），
在$△ MFP$和$△ BCP$中，
$\begin{cases}∠ MFP =∠ BCP\\ ∠ FPM=∠ CPB \\ EP = EB\end{cases}$
先看$△ AEB$和$△ MEP$，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ MEP \\ EB = EP\\∠ EBA=∠ EMP\end{cases}$
所以$△ AEB≌△ MEP(ASA)$，
同理$△ FEP≌△ FCP$，
所以$AB = EM$，$DF = FM$，
因为梯形$ABCD$的周长为$24cm$，
即$AB + BC+CD + AD = 24$，
又因为$AB = EM$，$CD = 2CF$，
且$EM + MD=AB + BC + CD+AD - 2EF$（通过线段关系推导），
而$MD = BC$（由全等三角形等得到），
所以$2(AD + BC)=24 - 2EF$，
由$EF=\frac{1}{2}(AD + BC)$，
即$4EF=24 - 2EF$，
$6EF = 24$，
解得$EF = 6cm$。
故答案为：$6$。
