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1. 把乘法公式$(a + b)^2=$，$(a - b)^2=$反过来，就得到，。利用它们可以把某些多项式因式分解，其中$a$，$b$可以是单项式，也可以是多项式。
答案
$a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$；$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$；$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$
2. 利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫作。
答案
公式法
3. 因式分解的一般步骤：一“提”：若有公因式，则。二“套”：用公式法，当多项式为两项时，考虑用；当多项式为三项时，考虑用。三“查”：检查因式分解。
答案
1. $a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$；$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$；$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
2. 公式法
3. 先提公因式；平方差公式；完全平方公式；是否彻底
2. 公式法
3. 先提公因式；平方差公式；完全平方公式；是否彻底
1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()。
A.$x^2 - 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 + x + 1$
D.$4x^2 + 4x + 1$
A.$x^2 - 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 + x + 1$
D.$4x^2 + 4x + 1$
答案
D
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$x^2 - 1=x^2 - 1^2$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 + 2x - 1$，其中常数项为$-1$，不符合完全平方公式中最后一项是非负数这一特点，不能用完全平方公式分解因式。
选项C：$x^2 + x + 1$，中间项$x$不满足$2ab$的形式（若$a = x$，$b = 1$，$2ab = 2x≠ x$），不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$4x^2 + 4x + 1=(2x)^2+2×2x×1 + 1^2=(2x + 1)^2$，符合完全平方公式的形式，可以用完全平方公式分解因式。
选项A：$x^2 - 1=x^2 - 1^2$，不符合完全平方公式的形式，不能用完全平方公式分解因式。
选项B：$x^2 + 2x - 1$，其中常数项为$-1$，不符合完全平方公式中最后一项是非负数这一特点，不能用完全平方公式分解因式。
选项C：$x^2 + x + 1$，中间项$x$不满足$2ab$的形式（若$a = x$，$b = 1$，$2ab = 2x≠ x$），不能用完全平方公式分解因式。
选项D：$4x^2 + 4x + 1=(2x)^2+2×2x×1 + 1^2=(2x + 1)^2$，符合完全平方公式的形式，可以用完全平方公式分解因式。
2. 把多项式$x^2 - 8x + 16$因式分解，所得结果正确的是()。
A.$(x - 4)^2$
B.$(x + 4)^2$
C.$x(x - 8) + 16$
D.$(x + 4)(x - 4)$
A.$(x - 4)^2$
B.$(x + 4)^2$
C.$x(x - 8) + 16$
D.$(x + 4)(x - 4)$
答案
A
解析
给定的多项式为$x^2 - 8x + 16$，观察是否可以用完全平方公式因式分解，即$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$的形式。
这里$a = x$，$b = 4$，因为$-8x = -2 · x · 4$，且$16 = 4^2$，所以可以写成$(x - 4)^2$。
验证：$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$，与原式一致。
这里$a = x$，$b = 4$，因为$-8x = -2 · x · 4$，且$16 = 4^2$，所以可以写成$(x - 4)^2$。
验证：$(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$，与原式一致。
3. 因式分解$(x - 1)^2 - 2(x - 1) + 1$的结果是()。
A.$(x - 1)(x - 2)$
B.$x^2$
C.$(x + 1)^2$
D.$(x - 2)^2$
A.$(x - 1)(x - 2)$
B.$x^2$
C.$(x + 1)^2$
D.$(x - 2)^2$
答案
D
解析
本题可将$(x - 1)$看成一个整体，然后利用完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$进行因式分解，其中$a = x - 1$，$b = 1$。
$(x - 1)^2 - 2(x - 1) + 1=[(x - 1)-1]^2=(x - 2)^2$。
$(x - 1)^2 - 2(x - 1) + 1=[(x - 1)-1]^2=(x - 2)^2$。
4. 已知正方形的面积是$4a^2 + 4ab + b^2(a ＞ 0,b ＞ 0)$，利用因式分解写出表示该正方形的边长的代数式是。
答案
首先，对给定的多项式 $4a^2 + 4ab + b^2$ 进行因式分解。
$4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 × 2a × b + b^2= (2a + b)^2$
由于正方形的面积是边长的平方，即 $\mathrm{边长}^2 = (2a + b)^2$。
因此，正方形的边长为 $2a + b$。
$4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 × 2a × b + b^2= (2a + b)^2$
由于正方形的面积是边长的平方，即 $\mathrm{边长}^2 = (2a + b)^2$。
因此，正方形的边长为 $2a + b$。
5. 若$a + b + 1 = 0$，则$3a^2 + 3b^2 + 6ab$的值是()。
A.$3$
B.$-3$
C.$1$
D.$-1$
A.$3$
B.$-3$
C.$1$
D.$-1$
答案
A
解析
因为$a + b + 1 = 0$，所以$a + b = -1$。
$3a^2 + 3b^2 + 6ab = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a + b)^2$，
将$a + b = -1$代入，得$3×(-1)^2 = 3×1 = 3$。
$3a^2 + 3b^2 + 6ab = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a + b)^2$，
将$a + b = -1$代入，得$3×(-1)^2 = 3×1 = 3$。
