6. 把下列各式因式分解：
(1)$x^3 - 2x^2y + xy^2$；
(2)$(2x + y)^2 - 8xy$；
(3)$(x^2 - 1)^2 - 6(x^2 - 1) + 9$。

(1)
$\begin{aligned}x^{3} - 2x^{2}y + xy^{2} &= x(x^{2} - 2xy + y^{2}) \\&= x(x - y)^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(2x + y)^{2} - 8xy &= 4x^{2} + 4xy + y^{2} - 8xy \\&= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \\&= (2x - y)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x^{2} - 1)^{2} - 6(x^{2} - 1) + 9 &= (x^{2} - 1 - 3)^{2} \\&= (x^{2} - 4)^{2} \\&= (x + 2)^{2}(x - 2)^{2}\end{aligned}$

7. 【综合与实践】
【操作探究】
(1)如图①，利用一个边长为$a$的正方形，一个边长为$b$的正方形和$2$个长为$a$、宽为$b$的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解的公式：。
【类比探究】
(2)如图②，将一个大正方形分成$9$部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到一个有关多项式因式分解的恒等式：。
【解决问题】
(3)已知长方形的周长为$14\ \mathrm{cm}$，它的两邻边长分别为$x\ \mathrm{cm}$，$y\ \mathrm{cm}$，且满足$(x - y)^2 + 2x - 2y + 1 = 0$，求该长方形的面积。

该长方形的面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$。

(1) $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)^2$
(3)
已知长方形的周长为 $14\ \mathrm{cm}$，即：
$2(x + y) = 14$
$x + y = 7$
又满足：
$(x - y)^2 + 2x - 2y + 1 = 0$
化简：
$(x - y)^2 + 2(x - y) + 1 = 0$
$(x - y + 1)^2 = 0$
$x - y + 1 = 0$
$x - y = -1$
联立方程：
$x + y = 7$
$x - y = -1$
解得：
$2x = 6$
$x = 3$
$y = 4$
长方形的面积为：
$x × y = 3 × 4 = 12\ \mathrm{cm}^2$