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例3 若a，b，c是直角三角形的三边长，斜边(c)上的高为h，下列结论中，正确的是.
①以$a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$的长为边的三条线段能构成直角三角形；②以$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$的长为边的三条线段能构成直角三角形；③以a + b，c + h，h的长为边的三条线段能构成直角三角形；④以$\dfrac{1}{a}$，$\dfrac{1}{b}$，$\dfrac{1}{h}$的长为边的三条线段能构成直角三角形.
①以$a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$的长为边的三条线段能构成直角三角形；②以$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$，$\sqrt{c}$的长为边的三条线段能构成直角三角形；③以a + b，c + h，h的长为边的三条线段能构成直角三角形；④以$\dfrac{1}{a}$，$\dfrac{1}{b}$，$\dfrac{1}{h}$的长为边的三条线段能构成直角三角形.
答案
③④
解析
①由勾股定理知$a^2 + b^2 = c^2$，则$(a^2)^2 + (b^2)^2 = a^4 + b^4$，$(c^2)^2 = (a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$，$a^4 + b^4 ≠ (c^2)^2$，不能构成直角三角形，①错误；
②$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 = a + b$，$(\sqrt{c})^2 = c$，在直角三角形中$a + b ＞ c$，故$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 ＞ (\sqrt{c})^2$，不能构成直角三角形，②错误；
③$(a + b)^2 + h^2 = a^2 + 2ab + b^2 + h^2 = c^2 + 2ch + h^2$（$ab = ch$），$(c + h)^2 = c^2 + 2ch + h^2$，故$(a + b)^2 + h^2 = (c + h)^2$，能构成直角三角形，③正确；
④$(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{a^2b^2}$，$(\frac{1}{h})^2 = (\frac{c}{ab})^2 = \frac{c^2}{a^2b^2}$，故$(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{h})^2$，能构成直角三角形，④正确。
②$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 = a + b$，$(\sqrt{c})^2 = c$，在直角三角形中$a + b ＞ c$，故$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 ＞ (\sqrt{c})^2$，不能构成直角三角形，②错误；
③$(a + b)^2 + h^2 = a^2 + 2ab + b^2 + h^2 = c^2 + 2ch + h^2$（$ab = ch$），$(c + h)^2 = c^2 + 2ch + h^2$，故$(a + b)^2 + h^2 = (c + h)^2$，能构成直角三角形，③正确；
④$(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{a^2b^2}$，$(\frac{1}{h})^2 = (\frac{c}{ab})^2 = \frac{c^2}{a^2b^2}$，故$(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2 = (\frac{1}{h})^2$，能构成直角三角形，④正确。
巩固提升 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形中有直角三角形()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
设每个小正方形边长为1，建立坐标系确定各点坐标（假设）：A(0,4)，B(0,2)，C(4,2)，D(3,1)。
△ABC：AB=2，BC=4，AC²=2²+4²=20，AB²+BC²=4+16=20=AC²，是直角三角形。
△ABD：AB=2，BD²=3²+(-1)²=10，AD²=3²+(-3)²=18，不满足勾股定理，非直角三角形。
△ACD：AD²=18，CD²=1²+1²=2，AC²=20，AD²+CD²=18+2=20=AC²，是直角三角形。
△BCD：BC=4，BD²=10，CD²=2，不满足勾股定理，非直角三角形。
综上，直角三角形有2个。
△ABC：AB=2，BC=4，AC²=2²+4²=20，AB²+BC²=4+16=20=AC²，是直角三角形。
△ABD：AB=2，BD²=3²+(-1)²=10，AD²=3²+(-3)²=18，不满足勾股定理，非直角三角形。
△ACD：AD²=18，CD²=1²+1²=2，AC²=20，AD²+CD²=18+2=20=AC²，是直角三角形。
△BCD：BC=4，BD²=10，CD²=2，不满足勾股定理，非直角三角形。
综上，直角三角形有2个。
例4 如图，南北向MN为我国领海线，MN以西为我国领海，以东为公海. 上午9时50分，我国缉私艇A发现其正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意. 缉私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；缉私艇B测得与C艇的距离为12海里. 若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？(精确到分)
易错分析 尚未明确△ABC为直角三角形时，盲目套用勾股定理.
易错分析 尚未明确△ABC为直角三角形时，盲目套用勾股定理.
答案
解：
1. 判断三角形形状：
已知 $ AB = 5 $ 海里，$ BC = 12 $ 海里，$ AC = 13 $ 海里。
因为 $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ ABC = 90° $。
2. 求走私艇C到领海线MN的最短距离：
设 $ MN $ 与 $ AC $ 交于点 $ E $（$ E $ 为垂足，因 $ AC $ 为东西方向，$ MN $ 为南北方向，故 $ AC ⊥ MN $）。设 $ CE = y $（即C到MN的最短距离），$ AE = x $，$ BE = z $。
由 $ AC = 13 $ 海里，得 $ x + y = 13 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：$ x^2 + z^2 = 5^2 = 25 $；
在 $ \mathrm{Rt}△ CBE $ 中：$ y^2 + z^2 = 12^2 = 144 $。
两式相减：$ y^2 - x^2 = 144 - 25 = 119 $，即 $ (y - x)(y + x) = 119 $。
因 $ x + y = 13 $，故 $ y - x = \frac{119}{13} $。
联立 $ \begin{cases} x + y = 13 \\ y - x = \frac{119}{13} \end{cases} $，解得 $ y = \frac{144}{13} $ 海里。
3. 计算时间：
走私艇速度 $ v = 13 $ 海里/时，时间 $ t = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} = \frac{144/13}{13} = \frac{144}{169} \approx 0.852 $ 小时。
换算为分钟：$ 0.852 × 60 \approx 51 $ 分钟。
4. 确定最早进入时间：
9时50分 + 51分钟 = 10时41分。
答案：10时41分。
1. 判断三角形形状：
已知 $ AB = 5 $ 海里，$ BC = 12 $ 海里，$ AC = 13 $ 海里。
因为 $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ ABC = 90° $。
2. 求走私艇C到领海线MN的最短距离：
设 $ MN $ 与 $ AC $ 交于点 $ E $（$ E $ 为垂足，因 $ AC $ 为东西方向，$ MN $ 为南北方向，故 $ AC ⊥ MN $）。设 $ CE = y $（即C到MN的最短距离），$ AE = x $，$ BE = z $。
由 $ AC = 13 $ 海里，得 $ x + y = 13 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：$ x^2 + z^2 = 5^2 = 25 $；
在 $ \mathrm{Rt}△ CBE $ 中：$ y^2 + z^2 = 12^2 = 144 $。
两式相减：$ y^2 - x^2 = 144 - 25 = 119 $，即 $ (y - x)(y + x) = 119 $。
因 $ x + y = 13 $，故 $ y - x = \frac{119}{13} $。
联立 $ \begin{cases} x + y = 13 \\ y - x = \frac{119}{13} \end{cases} $，解得 $ y = \frac{144}{13} $ 海里。
3. 计算时间：
走私艇速度 $ v = 13 $ 海里/时，时间 $ t = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} = \frac{144/13}{13} = \frac{144}{169} \approx 0.852 $ 小时。
换算为分钟：$ 0.852 × 60 \approx 51 $ 分钟。
4. 确定最早进入时间：
9时50分 + 51分钟 = 10时41分。
答案：10时41分。
解析
解：
1. 判断三角形形状：
已知 $ AB = 5 $ 海里，$ BC = 12 $ 海里，$ AC = 13 $ 海里。
因为 $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ ABC = 90° $。
2. 求走私艇C到领海线MN的最短距离：
设 $ MN $ 与 $ AC $ 交于点 $ E $（$ E $ 为垂足，因 $ AC $ 为东西方向，$ MN $ 为南北方向，故 $ AC ⊥ MN $）。设 $ CE = y $（即C到MN的最短距离），$ AE = x $，$ BE = z $。
由 $ AC = 13 $ 海里，得 $ x + y = 13 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：$ x^2 + z^2 = 5^2 = 25 $；
在 $ \mathrm{Rt}△ CBE $ 中：$ y^2 + z^2 = 12^2 = 144 $。
两式相减：$ y^2 - x^2 = 144 - 25 = 119 $，即 $ (y - x)(y + x) = 119 $。
因 $ x + y = 13 $，故 $ y - x = \frac{119}{13} $。
联立 $ \begin{cases} x + y = 13 \\ y - x = \frac{119}{13} \end{cases} $，解得 $ y = \frac{144}{13} $ 海里。
3. 计算时间：
走私艇速度 $ v = 13 $ 海里/时，时间 $ t = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} = \frac{144/13}{13} = \frac{144}{169} \approx 0.852 $ 小时。
换算为分钟：$ 0.852 × 60 \approx 51 $ 分钟。
4. 确定最早进入时间：
9时50分 + 51分钟 = 10时41分。
1. 判断三角形形状：
已知 $ AB = 5 $ 海里，$ BC = 12 $ 海里，$ AC = 13 $ 海里。
因为 $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ ABC = 90° $。
2. 求走私艇C到领海线MN的最短距离：
设 $ MN $ 与 $ AC $ 交于点 $ E $（$ E $ 为垂足，因 $ AC $ 为东西方向，$ MN $ 为南北方向，故 $ AC ⊥ MN $）。设 $ CE = y $（即C到MN的最短距离），$ AE = x $，$ BE = z $。
由 $ AC = 13 $ 海里，得 $ x + y = 13 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中：$ x^2 + z^2 = 5^2 = 25 $；
在 $ \mathrm{Rt}△ CBE $ 中：$ y^2 + z^2 = 12^2 = 144 $。
两式相减：$ y^2 - x^2 = 144 - 25 = 119 $，即 $ (y - x)(y + x) = 119 $。
因 $ x + y = 13 $，故 $ y - x = \frac{119}{13} $。
联立 $ \begin{cases} x + y = 13 \\ y - x = \frac{119}{13} \end{cases} $，解得 $ y = \frac{144}{13} $ 海里。
3. 计算时间：
走私艇速度 $ v = 13 $ 海里/时，时间 $ t = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} = \frac{144/13}{13} = \frac{144}{169} \approx 0.852 $ 小时。
换算为分钟：$ 0.852 × 60 \approx 51 $ 分钟。
4. 确定最早进入时间：
9时50分 + 51分钟 = 10时41分。
巩固提升 如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村庄到公路l的距离AC = 1 km，B村庄到公路l的距离BD = 2 km，CD = 4 km.
(1) 求A，B两村庄之间的距离；
(2) 为方便村民出行，计划在公路CD的中点处新建一个汽车站P. 试比较汽车站P到A，B两村庄哪个较近一些，为什么？
(1) 求A，B两村庄之间的距离；
(2) 为方便村民出行，计划在公路CD的中点处新建一个汽车站P. 试比较汽车站P到A，B两村庄哪个较近一些，为什么？
答案
(1) 过点A作AE⊥BD交BD延长线于E，∵AC⊥l，BD⊥l，∴四边形ACDE为矩形，∴AE=CD=4km，DE=AC=1km，∴BE=BD+DE=2+1=3km。在Rt△ABE中，AB=√(AE²+BE²)=√(4²+3²)=5km。
(2) CD中点P，CP=PD=2km。在Rt△ACP中，PA=√(AC²+CP²)=√(1²+2²)=√5km；在Rt△BDP中，PB=√(BD²+PD²)=√(2²+2²)=2√2km。∵√5＜2√2，∴汽车站P到A村庄较近。
(2) CD中点P，CP=PD=2km。在Rt△ACP中，PA=√(AC²+CP²)=√(1²+2²)=√5km；在Rt△BDP中，PB=√(BD²+PD²)=√(2²+2²)=2√2km。∵√5＜2√2，∴汽车站P到A村庄较近。
1. 在△ABC中，AB = 3，BC = $\sqrt{6}$，AC = $\sqrt{3}$，则()
A.∠A = 90°
B.∠B = 90°
C.∠C = 90°
D.∠A = ∠B
A.∠A = 90°
B.∠B = 90°
C.∠C = 90°
D.∠A = ∠B
答案
C
解析
在△ABC中，三边长度分别为$AB=3,BC=\sqrt{6},AC=\sqrt{3}$，
根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^{2} +b^{2} =c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，且直角对应的边是$c$，
计算$AC^{2} +BC^{2}$的值：
$AC^{2} +BC^{2} =(\sqrt{3} )^{2} +(\sqrt{6} )^{2}=3+6=9$，
计算$AB^{2}$的值：
$AB^{2}=3^{2} =9$，
因为$AC^{2} +BC^{2} =AB^{2}$，
所以$AB$是斜边，
那么$∠ C=90°$。
根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^{2} +b^{2} =c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，且直角对应的边是$c$，
计算$AC^{2} +BC^{2}$的值：
$AC^{2} +BC^{2} =(\sqrt{3} )^{2} +(\sqrt{6} )^{2}=3+6=9$，
计算$AB^{2}$的值：
$AB^{2}=3^{2} =9$，
因为$AC^{2} +BC^{2} =AB^{2}$，
所以$AB$是斜边，
那么$∠ C=90°$。
2. 勾股定理被誉为“几何明珠”. 在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载. 如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为()
A.54
B.60
C.100
D.50
A.54
B.60
C.100
D.50
答案
D
解析
由题意，直角三角形边长为3，4，5（勾股数），三个正方形边长分别为3，4，5，面积分别为9，16，25，总面积为9+16+25=50。直角三角形面积为(3×4)/2=6。
观察图形，大长方形的长为3+4+5=12，宽为5+5=10（或通过图形拼接关系得长10、宽10，正方形是特殊长方形），面积为10×10=100。
空白部分面积=长方形面积 - 三个正方形面积=100 - 50=50。
观察图形，大长方形的长为3+4+5=12，宽为5+5=10（或通过图形拼接关系得长10、宽10，正方形是特殊长方形），面积为10×10=100。
空白部分面积=长方形面积 - 三个正方形面积=100 - 50=50。
