2. 运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为 $ PA = 5.52 $ 米，$ PB = 5.13 $ 米，则小明的真实成绩为米.

2. 5.13

【分析】
要确定小明的真实跳远成绩，首先需明确跳远成绩的测量规则：跳远成绩是落点到起跳线的垂线段长度。观察图形可知，$PB ⊥ AB$，根据垂线段的性质，垂线段是点到直线的最短距离，且符合跳远成绩的测量要求，因此真实成绩应为垂线段PB的长度，而非斜线PA的长度。
【解析】
根据跳远比赛的成绩测量规则，运动员的跳远成绩为落点到起跳线的垂线段长度。由图可知，$PB ⊥ AB$，即PB是落点P到起跳线AB的垂线段，因此小明的真实成绩为PB的长度，即5.13米。
【答案】
5.13
【知识点】
垂线段的性质、实际测量应用
【点评】
本题考查垂线段性质在实际生活中的应用，核心是理解跳远成绩的测量原理，明确只有垂线段的长度才是符合规则的有效成绩，避免混淆斜线与垂线段的测量意义。
【难度系数】
0.9

3. 如图所示，$ a $ 代表水面，$ b $ 代表三名选手从十米跳台入水示意图，图①水花最小，得分最高，由此我们可得出结论，当入水轨迹与水面时，无水花溅起，得分最高.

3. 垂直

【分析】
首先观察三个跳水入水示意图，图①中选手的入水轨迹b与水面a呈垂直关系，此时水花最小、得分最高；对比图②和图③，入水轨迹与水面不垂直时水花更大。由此思考，要达到无水花溅起、得分最高的效果，入水轨迹与水面的关系应和图①一致，即垂直。
【解析】
观察题图可知，图①中入水轨迹b与水面a垂直时，水花最小、得分最高，结合题目中“无水花溅起，得分最高”的描述，可得出结论：当入水轨迹与水面垂直时，满足条件。
【答案】
垂直
【知识点】
垂直的概念
【点评】
本题借助跳水这一实际生活场景，考查对垂直概念的理解，引导学生将数学知识与生活实际相联系，培养观察能力与知识应用能力。
【难度系数】
0.9

4. 如图，$ CD ⊥ OB $ 于 $ D $，$ EF ⊥ OA $ 于 $ F $，则 $ C $ 到 $ OB $ 的距离是，$ E $ 到 $ OA $ 的距离是，$ O $ 到 $ CD $ 的距离是，$ O $ 到 $ EF $ 的距离是.

4. $ CD, EF, OD, OF $

【分析】
要解决这道题，关键是理解点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，就是该点到这条直线的距离。我们需要逐个找到对应点到对应直线的垂线段：
1. 找$C$到$OB$的距离：因为$CD⊥OB$，所以$C$到$OB$的垂线段是$CD$，其长度就是$C$到$OB$的距离；
2. 找$E$到$OA$的距离：因为$EF⊥OA$，所以$E$到$OA$的垂线段是$EF$，其长度就是$E$到$OA$的距离；
3. 找$O$到$CD$的距离：$CD⊥OB$，$O$到$CD$的垂线段是$OD$（$OD$是从$O$向$CD$作的垂线段，因为$CD⊥OB$，所以$OD⊥CD$），所以$O$到$CD$的距离是$OD$的长度；
4. 找$O$到$EF$的距离：$EF⊥OA$，$O$到$EF$的垂线段是$OF$（$OF$是从$O$向$EF$作的垂线段，因为$EF⊥OA$，所以$OF⊥EF$），所以$O$到$EF$的距离是$OF$的长度。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：
因为$CD⊥OB$，所以点$C$到$OB$的距离是垂线段$CD$的长度，即$CD$；
因为$EF⊥OA$，所以点$E$到$OA$的距离是垂线段$EF$的长度，即$EF$；
因为$CD⊥OB$，所以点$O$到$CD$的距离是垂线段$OD$的长度，即$OD$；
因为$EF⊥OA$，所以点$O$到$EF$的距离是垂线段$OF$的长度，即$OF$。
【答案】
$CD$，$EF$，$OD$，$OF$
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题主要考查点到直线的距离的定义，解题的关键是准确识别对应点到直线的垂线段，明确垂线段的长度就是点到直线的距离，注意区分垂线段与距离的关系。
【难度系数】
0.7

5. 如图，$ P $ 是 $ ∠ AOB $ 的边 $ OB $ 上的一点.
(1)过点 $ P $ 画 $ OA $ 的垂线，垂足为 $ H $；
(2)过点 $ P $ 画 $ OB $ 的垂线，交 $ OA $ 于点 $ C $；
(3)线段 $ PH $ 的长是点 $ P $ 到的距离，是点 $ C $ 到直线 $ OB $ 的距离.

5. (1)(2)

(3)$ OA, PC $

【分析】
本题包含作图和概念考查两部分。对于(1)(2)的作图，需利用三角板的直角特性来画垂线：画OA的垂线时，让三角板一条直角边与OA重合，另一条直角边过点P，画出直线即可得到垂足H；画OB的垂线时，同理让三角板直角边与OB重合，另一条过P，画直线交OA于C。对于(3)，要依据点到直线的距离的定义来判断，点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，据此确定对应的直线和垂线段。
【解析】
(1) 作图步骤：把三角板的一条直角边与OA重合，平移三角板，使另一条直角边经过点P，沿这条直角边作直线，与OA交于点H，则PH就是过点P且垂直于OA的直线。
(2) 作图步骤：把三角板的一条直角边与OB重合，平移三角板，使另一条直角边经过点P，沿这条直角边作直线，与OA交于点C，则PC就是过点P且垂直于OB的直线。
(3) 根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度叫做点到直线的距离。可知线段PH的长是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离。
【答案】
(1)(2)

(3)$OA$，$PC$
【知识点】
垂线的画法，点到直线的距离
【点评】
本题是基础几何题，既考查了基本的垂线作图能力，又考查了点到直线的距离这一核心概念，需要准确理解作图方法和概念的内涵，避免混淆垂线段与点到直线的距离的区别。
【难度系数】
0.8

6. 如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路 $ AC $，$ AB $，$ AD $ 中最短的是()

A.$ AC $
B.$ AB $
C.$ AD $
D.不确定

6. B

【分析】
首先观察图形，CD所在直线可看作一条直线，点A是该直线外一点，AC、AB、AD是从点A到这条直线的三条线段。我们需要结合点到直线的距离相关知识来分析，根据“垂线段最短”的性质，判断哪条线段是垂线段即可找到最短线路。从图中能明显看出AB垂直于CD，即AB是垂线段，因此AB是三条线路中最短的。
【解析】
根据垂线段最短的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
由图可知，AB是点A到CD所在直线的垂线段，所以在AC、AB、AD三条线路中，AB最短。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短的实际应用，将过马路的生活场景转化为数学中点到直线的距离问题，体现了数学与生活的紧密联系，熟练掌握垂线段最短的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

7. 在下列各图中，用三角板分别过点 $ C $ 画线段 $ AB $ 的垂线.

7.

【分析】
要解决过点$ C $画线段$ AB $的垂线的问题，首先明确垂线的定义：两条直线相交所成的角为直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线。
思考操作思路：借助三角板的直角特性，第一步将三角板的一条直角边与线段$ AB $重合；第二步平移三角板，使另一条直角边经过点$ C $；第三步沿这条经过点$ C $的直角边画直线，该直线就是$ AB $的垂线。同时要注意点$ C $的不同位置（$ AB $外、$ AB $上、三角形顶点旁），操作时需保证直角边与$ AB $准确重合，确保画出的线与$ AB $成直角。
【解析】
1. 针对点$ C $在$ AB $外的图：
把三角板的一条直角边与$ AB $重合，平移三角板至另一条直角边经过点$ C $，沿该直角边画直线，即为$ AB $的垂线；
2. 针对点$ C $在$ AB $上的图：
将三角板的一条直角边与$ AB $重合，使三角板的直角顶点与点$ C $重合，沿另一条直角边画直线，得到$ AB $的垂线；
3. 针对点$ C $为三角形顶点的图：
把三角板的一条直角边与$ AB $重合，平移三角板至另一条直角边经过点$ C $，沿该直角边画直线（可延长$ AB $辅助作图），此直线即为$ AB $的垂线。
【答案】

【知识点】
垂线的画法
【点评】
本题考查垂线的作图方法，通过动手操作巩固对垂线定义的理解，掌握三角板画垂线的核心步骤，提升几何作图的动手能力，需注意不同位置的点画垂线时的操作细节，保证垂线与$ AB $垂直。
【难度系数】
0.8

1. 按题目要求画图，并回答相关问题.
（1）画任意长的线段 $ AB $，取 $ AB $ 的中点 $ O $，过 $ O $ 作线段 $ AB $ 的垂线，在垂线上任取一点 $ P $，连接 $ PA $，$ PB $，量一量线段 $ PA $，$ PB $ 的长度，你发现什么结论？
（2）画两条直线 $ m $，$ n $，使 $ m // n $，在直线 $ m $ 上任取两点 $ A $，$ B $，分别过 $ A $，$ B $ 作直线 $ n $ 的垂线，垂足分别为 $ C $，$ D $，量一量线段 $ AC $，$ BD $ 的长，你发现了什么结论？
（3）如图，点 $ P $ 是 $ ∠ AOB $ 内一点，过点 $ P $ 作 $ PM ⊥ OA $，垂足为 $ M $，作 $ PN ⊥ OB $，垂足为 $ N $，量一量 $ ∠ MPN $ 和 $ ∠ O $，你发现了什么结论？

1. (1)如图：$ PA = PB $
结论：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

(2)如图：$ AC = BD $
结论：平行线间的距离相等

(3)如图：$ ∠ MPN + ∠ O = 180° $

【分析】
1. 对于第(1)问：首先要掌握线段垂直平分线的画法，先画出任意线段$AB$，找到其中点$O$后，过$O$作$AB$的垂线，在垂线上取点$P$，连接$PA$、$PB$，通过测量长度来探究垂直平分线上的点与线段两端点的距离关系，核心是验证线段垂直平分线的性质。
2. 对于第(2)问：先画出两条平行线$m$、$n$，在其中一条直线上取两点，分别向另一条直线作垂线，测量垂线段的长度，探究平行线间垂线段的数量关系，本质是理解平行线间的距离的定义和性质。
3. 对于第(3)问：过$∠ AOB$内的点$P$分别向$OA$、$OB$作垂线，得到两个垂足，通过测量角度，结合四边形内角和为$360°$的知识，推导$∠ MPN$与$∠ O$的数量关系，重点是利用直角和四边形内角和进行角度计算。
【解析】
(1) 操作步骤：
① 用直尺画出任意长度的线段$AB$；
② 用刻度尺找到$AB$的中点$O$；
③ 过点$O$作线段$AB$的垂线$l$；
④ 在垂线$l$上任取一点$P$，连接$PA$、$PB$；
⑤ 测量$PA$、$PB$的长度，发现$PA=PB$，由此得出结论：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
(2) 操作步骤：
① 用直尺和三角板画出两条平行线$m// n$；
② 在直线$m$上任取两点$A$、$B$；
③ 分别过$A$、$B$作直线$n$的垂线，垂足为$C$、$D$；
④ 测量线段$AC$、$BD$的长度，发现$AC=BD$，由此得出结论：平行线间的距离相等。
(3) 操作步骤：
① 过点$P$作$PM⊥ OA$，垂足为$M$，作$PN⊥ OB$，垂足为$N$；
② 测量$∠ MPN$和$∠ O$的度数；
③ 因为$∠ OMP=∠ ONP=90°$，四边形$OMPN$的内角和为$360°$，所以$∠ MPN+∠ O=360°-90°-90°=180°$，得出结论：$∠ MPN$与$∠ O$互补（即$∠ MPN+∠ O=180°$）。
【答案】
(1) 如图：$ PA = PB $
结论：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

(2) 如图：$ AC = BD $
结论：平行线间的距离相等

(3) 如图：$ ∠ MPN + ∠ O = 180° $

【知识点】
线段垂直平分线的性质，平行线间的距离，四边形内角和
【点评】
本题属于动手操作类几何探究题，通过画图、测量、推理的过程，帮助学生直观理解并掌握线段垂直平分线的性质、平行线间的距离特性以及角度互补的推导，既培养了动手实践能力，又巩固了基础几何知识，是对几何基本性质的直观验证与应用。
【难度系数】
0.7

2. 如果两个角的差的绝对值等于 $ 90° $，那么称这两个角互为反余角，其中一个角叫作另一个角的反余角.例如：$ ∠ 1 = 120° $，$ ∠ 2 = 30° $，$ |∠ 1 - ∠ 2| = 90° $，则 $ ∠ 1 $ 和 $ ∠ 2 $ 互为反余角，其中 $ ∠ 1 $ 是 $ ∠ 2 $ 的反余角，$ ∠ 2 $ 也是 $ ∠ 1 $ 的反余角.
(1)如图，$ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，$ OC ⊥ AB $ 于点 $ O $，$ OE ⊥ OD $ 于点 $ O $，则 $ ∠ AOE $ 的反余角是，$ ∠ BOE $ 的反余角是；
(2)若一个角的反余角是它的补角的 $ \frac{2}{3} $，求这个角的度数.

2. (1)$ ∠ AOD, ∠ EOC $和$ ∠ DOB $
(2)设这个角为$ x° $，若这个角是锐角，则它的反余角为$ (90 + x)° $，
则$ 90° + x° = \frac{2}{3}(180° - x°) $
$ x = 18° $
若这个角是钝角，则它的反余角为$ (x - 90)° $
则$ x° - 90° = \frac{2}{3}(180° - x°) $
$ x = 126° $
综上所述，这个角为$ 18° $或$ 126° $

【分析】
(1) 首先根据反余角的定义，两个角的差的绝对值等于$90°$则互为反余角。结合图形中的垂直关系，$OC⊥AB$得$∠AOC=∠COB=90°$，$OE⊥OD$得$∠EOD=90°$。对于$∠AOE$，找满足$|x - ∠AOE|=90°$的角：因为$∠AOD=∠AOE+∠EOD=∠AOE+90°$，所以$|∠AOD - ∠AOE|=90°$，因此$∠AOD$是$∠AOE$的反余角。对于$∠BOE$，$∠BOE=180°-∠AOE$，计算$∠BOE$与$∠EOC$、$∠DOB$的差，差的绝对值均为$90°$，所以$∠EOC$和$∠DOB$是$∠BOE$的反余角。
(2) 设这个角为$x°$，需分情况讨论：反余角定义中角可以是锐角或钝角（直角无符合条件的反余角，排除）。当这个角是锐角时，反余角为$x°+90°$；当这个角是钝角时，反余角为$x°-90°$。再根据“反余角是它的补角的$\frac{2}{3}$”列方程求解，补角为$180°-x°$，分别代入两种情况解方程，验证结果符合角的范围即可。
【解析】
(1) 已知$OC⊥AB$，$OE⊥OD$，所以$∠AOC=∠COB=∠EOD=90°$。
对于$∠AOE$：
$∠AOD=∠AOE+∠EOD=∠AOE+90°$，则$|∠AOD - ∠AOE|=90°$，根据反余角定义，$∠AOD$是$∠AOE$的反余角。
对于$∠BOE$：
$∠BOE=180°-∠AOE$，$∠EOC=90°-∠AOE$，则$|∠BOE - ∠EOC|=|(180°-∠AOE)-(90°-∠AOE)|=90°$；
又因为$∠DOB=∠COB - ∠COD=90°-∠COD$，且$∠AOE=∠COD$（同角的余角相等），所以$∠DOB=90°-∠AOE$，则$|∠BOE - ∠DOB|=|(180°-∠AOE)-(90°-∠AOE)|=90°$，因此$∠EOC$和$∠DOB$是$∠BOE$的反余角。
(2) 设这个角的度数为$x°$，分两种情况：
① 若这个角是锐角（$0°＜x＜90°$），则它的反余角为$(x+90)°$，
根据题意列方程：
$90 + x = \frac{2}{3}(180 - x)$
去分母得：$3(90 + x)=2(180 - x)$
展开得：$270 + 3x = 360 - 2x$
移项合并同类项得：$5x=90$
解得：$x=18$，符合锐角范围。
② 若这个角是钝角（$90°＜x＜180°$），则它的反余角为$(x-90)°$，
根据题意列方程：
$x - 90 = \frac{2}{3}(180 - x)$
去分母得：$3(x - 90)=2(180 - x)$
展开得：$3x - 270 = 360 - 2x$
移项合并同类项得：$5x=630$
解得：$x=126$，符合钝角范围。
综上，这个角的度数为$18°$或$126°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD}$；$\boldsymbol{∠EOC}$和$\boldsymbol{∠DOB}$
(2) $\boldsymbol{18°}$或$\boldsymbol{126°}$
【知识点】
1. 反余角定义
2. 补角定义
3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查新定义“反余角”的应用，解题关键是准确理解反余角的定义，结合垂直、余角、补角的性质进行分析，同时在解决第二问时要注意分情况讨论，考虑角为锐角和钝角的不同情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6