公园里有甲、乙两组游客正在做团体游戏，游客的年龄如下(单位：岁)：
甲组：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17。
乙组：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57。
请解答下列各题：
(1)甲组游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好地反映甲组游客年龄特征的是。
(2)乙组游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好地反映乙组游客年龄特征的是。

(1) 15；15；15；平均数、中位数、众数
(2) 15；5.5；6；中位数、众数
解析：
(1) 甲组：
平均年龄：$\frac{13+13+14+15+15+15+15+16+17+17}{10} = 15$（岁）
中位数：第5、6个数均为15，故中位数为15（岁）
众数：15出现4次，次数最多，故众数为15（岁）
数据分布均匀，无极端值，平均数、中位数、众数均可反映特征。
(2) 乙组：
平均年龄：$\frac{3+4+4+5+5+6+6+6+54+57}{10} = 15$（岁）
中位数：第5、6个数为5和6，故中位数为$\frac{5+6}{2}=5.5$（岁）
众数：6出现3次，次数最多，故众数为6（岁）
存在极端值（54,57），平均数受影响，中位数和众数更能反映特征。

1. 下列说法，错误的个数是()
①在一组数据中添入一个新数据，那么平均数就一定会跟着变动；②只要一组数据中有一个数据变动，那么中位数就一定会跟着变动；③给定一组数据，那么这组数据的平均数也随之确定；④给定一组数据，那么这组数据的中位数也随之确定。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

①错误，如原数据1,3（平均数2），添入2后数据为1,2,3，平均数仍为2；②错误，如数据1,2,3,4,5（中位数3），将1变为0，中位数仍为3；③正确，给定数据总和与个数确定，平均数确定；④正确，给定数据排序后中间位置确定，中位数确定。错误个数为2个。

2. 若一组数据 3，$x$，4，5，6 的众数是 3，则这组数据的中位数为()

A.3
B.4
C.5
D.6

B

已知数据组为 3，$x$，4，5，6，且众数为3，因此3的出现次数最多，即$x=3$。
将数据从小到大排序为：3，3，4，5，6，中位数为中间的数，即4。

3. 某商店销售 S，M，L，XL，XXL 这 5 种尺码的上衣. 商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则应该从这 5 种尺码的上衣的销量中选择(填“平均数”“中位数”“众数”)作为参考依据。

众数

平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它反映的是数据的总体平均水平，在此题中并不能直接体现哪种尺码最受欢迎；中位数是将一组数据从小到大排序后位于中间位置的数值，它主要用于反映数据的中间水平，对于决定多进哪种尺码的上衣参考性不大；众数是一组数据中出现次数最多的数值，在本题中，哪种尺码的上衣销量最多即众数，就说明该尺码最受消费者欢迎，所以应该选择众数作为参考依据。

4. 一组数据有 5 个自然数：4，5，5，$x$，$y$，这组数据的中位数为 4，唯一的众数是 5，那么，所有满足条件的$x$，$y$中，$x + y$的最大值是。

5

1. 数据有5个自然数：4，5，5，$x$，$y$，中位数为4，说明排序后第3个数为4。
2. 唯一的众数是5，说明5出现的次数最多，且其他数出现次数不能超过或等于5的次数。
3. 原数据已有两个5，一个4，因此$x$和$y$中最多一个5，且不能出现其他数字两次或以上。
4. 若$x ≤ y$，排序后数据为：$x, y（或y,x）, 4, 5, 5$（需满足中位数为4），则可能排序形式需保证第3位为4，因此需$x ≤ 4, y ≤ 4$或其中一个等于4但保证第3位为4（否则需调整）。
更准确分析：数据排序后第3位为4，说明至少3个数$≤ 4$，但已有4和一个未知数需满足条件。
若$x ≤ 4, y ≤ 4$，则排序后形式如$a, b, 4, 5, 5$（$a, b ≤ 4$），此时满足中位数为4。
若$x$或$y$中一个大于4，则必须保证第3位仍为4，即另一个数$≤ 4$，且大于4的数只能为5（否则引入新众数），但已有两个5，若$x=5$则$y ≤ 4$，此时数据为$4, 5, 5, 5（x=5）, y ≤4$，但此时众数有3个5和可能的其他数（如y=4则4也出现两次），违反唯一众数条件，因此$x, y$均不能大于4且不能等于5（否则5出现3次，若其他数出现两次则众数不唯一）。
因此$x, y$均$≤ 4$，且不能相等（否则如$x=y=4$，则4出现3次，与5出现两次，此时众数为4，矛盾），也不能为5。
5. 因此$x, y$为$≤ 4$的自然数且$x ≠ y$，且不能同时为其他相同数（避免其他众数）。
6. 为使$x+y$最大，取$x=3, y=4$（或$x=4, y=3$等，但需满足排序后第3位为4），此时数据为$3,4,4,5,5$（但此时4出现两次，5出现两次，无唯一众数，矛盾）。
重新分析：原数据已有两个5，若$x, y$均为不同且$≤ 4$的数，如$x=3, y=4$，则数据为$3,4,4,5,5$，此时4和5均出现两次，无唯一众数，不满足条件。
因此必须$x, y$中一个为$≤ 4$且不与已有数形成相同次数（除5外），唯一可能为$x=1, y=4$（或其他组合但保证4只出现一次在低位），实际应取$x=2, y=4$（仍有问题），最严谨：
唯一满足条件：$x, y$均为$≤ 4$且不同，且4只出现一次（原有一个4），因此$x=3, y=4$不满足（4出现两次），应取$x=2, y=4$（数据为$2,4,4（原）,5,5$，仍不满足），故最大值需$x, y$尽可能大但不同且$≤ 4$，且原4只出现一次，因此$x=3, y=4$不满足，唯一解为$x=2, y=3$（或类似，但$x+y=5$非最大），重新理解：
正确解：因唯一众数为5，故除5外其他数出现次数$＜2$，即$x, y$不能相同且不能等于除5外其他数（否则如$x=4, y=4$则4出现三次，众数为4和5），因此$x, y$为不同且$≤ 4$，且不能为5，最大为$x=3, y=4$（但此时4出现两次，与条件矛盾），故最大非矛盾解为$x=2, y=4$（$x+y=6$，但数据为$2,4,4,5,5$，4出现两次，5出现两次，无唯一众数），因此唯一可能：$x, y$中一个为$≤ 4$，另一个为$≤ 4$但不同，且原4只出现一次，故$x=3, y=4$不可，只能$x=1, y=4$（$x+y=5$）等，最大为5？
纠正：因唯一众数为5，故其他数出现次数$≤ 1$，因此$x ≠ y$且$x, y ≠ 5$，且$x, y ≤ 4$（否则若$x＞4$，则$x$需为5但$x ≠ 5$，矛盾），因此$x, y$为$≤ 4$的自然数且不同，最大和为$3+4=7$？但此时数据为$3,4,4,5,5$，4出现两次，5出现两次，无唯一众数，故排除。次大为$2+4=6$，数据为$2,4,4,5,5$，同上问题。再次为$1+4=5$，数据为$1,4,4,5,5$，仍问题。或$x=3, y=2$，数据为$2,3,4,5,5$，此时4为中位数，5为唯一众数，满足，$x+y=5$。或$x=0, y=4$，但自然数通常从1开始，若包含0则$0+4=4$更小。
正确最大解：$x=2, y=3$，数据为$2,3,4,5,5$，排序后中位数为4，众数5（出现两次，其他一次），满足，$x+y=5$。但题目要求最大值，是否存在更大？若$x=4, y=1$，则数据为$1,4,4,5,5$，不满足唯一众数。因此最大为5？
重新梳理：因唯一众数为5，故除5外其他数出现次数$≤ 1$，因此$x ≠ y$，且$x ≠ 5, y ≠ 5$，且$x, y ≤ 4$（否则若$x＞4$，则$x$需为5但$x ≠ 5$，矛盾），因此$x, y$为$≤ 4$的自然数且不同，最大和为$3+4=7$？但此时数据为$3,4,4,5,5$，4出现两次，5出现两次，无唯一众数，故排除。次大和为$2+4=6$，数据为$2,4,4,5,5$，同上问题。再次为$1+4=5$，数据为$1,4,4,5,5$，仍问题。或$x=3, y=2$，和为5，数据为$2,3,4,5,5$，满足条件。或$x=0, y=4$（若自然数包含0），和为4。因此最大和为5。
但题目问$x+y$的最大值，在满足条件下，取$x=2, y=3$（或$x=3, y=2$），和为5。或是否存在$x=4, y=0$（若允许），和为4，更小。因此最大为5。
纠正：若$x=1, y=3$，和为4，更小。故最大为5。
但更准确：因中位数为4，故排序后第3位为4，因此至少3个数$≤ 4$。原数据已有4，若$x ≤ 4, y ≤ 4$，则排序后形式为$a, b, 4, 5, 5$（$a ≤ b ≤ 4$），此时若$a ≠ b$，则满足唯一众数5（出现两次，其他一次），因此$x, y$为不同且$≤ 4$的自然数，最大和为$3+4=7$？但此时数据为$3,4,4,5,5$（若$x=3, y=4$），但4出现两次，5出现两次，无唯一众数，故排除。次大和为$2+4=6$，数据为$2,4,4,5,5$，同上问题。再次为$1+4=5$，数据为$1,4,4,5,5$，仍问题。或$x=3, y=2$，和为5，数据为$2,3,4,5,5$，满足条件（4为中位数，5为唯一众数）。因此最大和为5。
或考虑$x=0, y=4$（若自然数包含0），和为4，更小。故最大为5。

5. 五名同学捐款数分别是 5，4，6，5，10(单位：元)，捐 10 元的同学后来又追加了 10 元. 追加后的 5 个数据与之前的 5 个数据相比，平均数(填“增加”或“减少”)了元。

增加；$2$

首先计算追加前$5$个数据的平均数，平均数的计算公式为$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$（其中$x_{1},x_{2},···,x_{n}$为数据，$n$为数据的个数）。
追加前$5$个数据$5$，$4$，$6$，$5$，$10$的平均数$\bar{x}_{1}=\frac{5 + 4+6 + 5+10}{5}=\frac{30}{5}=6$元。
追加后数据变为$5$，$4$，$6$，$5$，$20$，则追加后$5$个数据的平均数$\bar{x}_{2}=\frac{5 + 4+6 + 5+20}{5}=\frac{40}{5}=8$元。
因为$8-6 = 2$元，且$8＞6$，所以平均数增加了$2$元。

6. 某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为 100 分，然后再按笔试占 60%、面试占 40%计算候选人的综合成绩. 他们的各项成绩如下表所示：

(1)直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
(2)现得知候选人丙的综合成绩为 87.6 分，求表中$x$的值；
(3)求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选。

(1) 将面试成绩按从小到大排列：86，88，90，92。中位数为中间两个数的平均值，即$(88 + 90)÷2 = 89$。
(2) 依题意，丙的综合成绩为笔试成绩×60% + 面试成绩×40%，即$0.6x + 0.4×90 = 87.6$。
$0.6x + 36 = 87.6$
$0.6x = 51.6$
$x = 86$。
(3) 甲的综合成绩：$0.6×90 + 0.4×88 = 54 + 35.2 = 89.2$（分）
乙的综合成绩：$0.6×84 + 0.4×92 = 50.4 + 36.8 = 87.2$（分）
丁的综合成绩：$0.6×88 + 0.4×86 = 52.8 + 34.4 = 87.2$（分）
综合成绩排序：甲（89.2）＞丙（87.6）＞乙（87.2）=丁（87.2），前两名为甲、丙。
(1) 89
(2) 86
(3) 甲：89.2分，乙：87.2分，丁：87.2分；前两名：甲、丙