如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为$1$。
(1)求$AC$，$BC$，$AB$的长；
(2)试判断$△ ABC$的形状。

(1) $AC = \sqrt{17}$，$BC = \sqrt{13}$，$AB = 2\sqrt{5}$；
(2) $△ ABC$是锐角三角形。

(1) 由图可知，点A、B、C在网格中的坐标分别为A(0,4)，B(2,0)，C(4,3)。
$AC = \sqrt{(4-0)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$
$BC = \sqrt{(4-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
(2) 计算各边的平方：
$AC^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$
$BC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$
$AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$
因为$AC^2 + BC^2 = 17 + 13 = 30 ≠ AB^2$，$AC^2 + AB^2 = 17 + 20 = 37 ≠ BC^2$，$BC^2 + AB^2 = 13 + 20 = 33 ≠ AC^2$，所以$△ ABC$不是直角三角形。
又因为$AC ≠ BC ≠ AB$，所以$△ ABC$是普通的锐角三角形（注：根据边长关系可判断为锐角三角形，但按八年级知识，仅需判断非直角三角形即可）。
综上，$△ ABC$是锐角三角形。
（注：原答案中判断为直角三角形有误，经重新计算，$AC^2 + BC^2 = 30$，$AB^2 = 20$，不满足勾股定理，故应为锐角三角形。）
修正后的最终

1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.3，4，5
B.2，3，4
C.4，6，7
D.5，11，12

A

根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为最长边），则它们能组成直角三角形。
选项A：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，满足$3^2 + 4^2 = 5^2$，故能组成直角三角形。
选项B：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，不满足$a^2 + b^2 = c^2$。
选项C：$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，$7^2 = 49$，不满足$a^2 + b^2 = c^2$。
选项D：$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，不满足$a^2 + b^2 = c^2$。

2. 已知$△ ABC$满足下列条件中的一个，其中不能说明$△ ABC$是直角三角形的是()

A.$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
B.$a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$∠ A:∠ B:∠ C = 3:4:5$

D

A. $b^2 = a^2 - c^2$ 可变形为 $a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
B. 设 $a = k$，$b = \sqrt{3}k$，$c = 2k$，则 $a^2 + b^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2 = c^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
C. $∠C = ∠A - ∠B$，且 $∠A + ∠B + ∠C = 180°$，可得 $∠A = 90°$，是直角三角形。
D. 设 $∠A = 3x$，$∠B = 4x$，$∠C = 5x$，则 $3x + 4x + 5x = 180°$，解得 $x = 15°$，$∠C = 75°$，最大角不是直角，不是直角三角形。

3. 下列定理中，有逆定理的是()

A.对顶角相等
B.全等三角形的对应角相等
C.两个全等三角形的面积相等
D.平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

D

一个定理的逆命题成立时，称其为原定理的逆定理。
A选项：“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此命题不成立。
B选项：“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此命题不成立。
C选项：“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，此命题不成立。
D选项：“平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“平面内，到线段的两个端点的距离相等的点位于线段的垂直平分线上”，此命题成立。

4. 已知下列命题：
①若$\vert x\vert = 1$，则$x = 1$；
②若$x = 1$，则$\sqrt{x}=x$；
③直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半；
④有理数与数轴上的点一一对应。
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()

A.1
B.2
C.3
D.4

A

①原命题：若$|x|=1$，则$x=1$，$x$可能为$-1$，是假命题，逆命题：若$x=1$，则$|x|=1$，是真命题，所以原命题与逆命题均为真命题是错误的。
②原命题：若$x=1$，则$\sqrt{x}=x$，$\sqrt{1}=1$，是真命题，逆命题：若$\sqrt{x}=x$，则$x=1$，$x$也可能为$0$，是假命题，所以原命题与逆命题均为真命题是错误的。
③原命题：直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，是真命题，逆命题：直角三角形中，有一边等于斜边的一半，这条边所对的角为$30^{\circ}$，根据直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，这条边是中线的话，这条边所对的角是不确定的，但是题目中说这条边是直角边，所以这条边所对的角是$30^{\circ}$，是真命题，所以原命题与逆命题均为真命题是正确的。
④原命题：有理数与数轴上的点一一对应，是假命题，因为数轴上的点不仅表示有理数，还表示无理数，逆命题：数轴上的点与有理数一一对应，是假命题，数轴上的点与实数一一对应，所以原命题与逆命题均为真命题是错误的。
只有③的原命题与逆命题是真命题。

5. 已知$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$满足$(a + c)(a - c)=b^{2}$，则()

A.边$a$所对的角是直角
B.边$b$所对的角是直角
C.边$c$所对的角是直角
D.$△ ABC$不是直角三角形

A

由题意，$(a + c)(a - c) = b^2$，
展开得 $a^2 - c^2 = b^2$，
整理为 $a^2 = b^2 + c^2$。
根据勾股定理的逆定理，若三角形两边平方和等于第三边平方，则第三边所对的角为直角。
因此，边$a$所对的角是直角。

6. 若$△ ABC$的三边$a$，$b$，$c$满足关系式$\vert a + 2b - 60\vert+(b - 18)^{2}+\sqrt{c - 30}=0$，则$△ ABC$为()

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.无法确定

A

由于 $|a + 2b - 60| + (b - 18)^{2} + \sqrt{c - 30} = 0$，
根据非负数的性质，每一项都必须为0。
因此，有以下三个方程：
$a + 2b - 60 = 0$，
$b - 18 = 0$，
$c - 30 = 0$，
从第二个方程，得到 $b = 18$。
将 $b = 18$ 代入第一个方程，得到 $a + 36 - 60 = 0$，从而 $a = 24$。
从第三个方程，得到 $c = 30$。
现在，有三边长度 $a = 24$，$b = 18$，$c = 30$。
验证是否满足勾股定理：
$24^{2} + 18^{2} = 576 + 324 = 900$，
$30^{2} = 900$。
由于 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，$\bigtriangleup ABC$ 是直角三角形。

7. “如果$x = 3$，那么$\vert x\vert = 3$”的逆命题是，该逆命题是命题(填“真”或“假”)。

如果$\vert x\vert = 3$，那么$x = 3$；假

逆命题是将原命题的条件和结论互换位置，“如果$x = 3$，那么$\vert x\vert = 3$”中，条件是$x = 3$，结论是$\vert x\vert = 3$，那么逆命题为如果$\vert x\vert = 3$，那么$x = 3$。当$\vert x\vert = 3$时，$x=\pm3$，并不一定就$x = 3$，所以该逆命题是假命题。