例1 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，且 $AD = BC$，若再补充一个条件，如 $∠ A=$时，就能推出四边形 $ABCD$ 是矩形。

【思路导析】根据矩形的定义进行解答。
【请你解答】。

$90°$

已知在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$ 且 $AD = BC$，因此四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
根据矩形的定义，若平行四边形有一个角是直角，则四边形是矩形，所以当 $ ∠ A = 90° $ 时，四边形 $ABCD$ 是矩形。

例2 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()

A.$AB = CD$
B.$AD = BC$
C.$AB = BC$
D.$AC = BD$

【思路导析】对角线相等的平行四边形是矩形。
【请你解答】。

D

因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形。要使平行四边形变为矩形，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，所以需要添加的条件是AC=BD。

例3 在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()

A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角线是否垂直
D.测量其内角是否有三个直角
【思路导析】有三个角是直角的四边形是矩形。
【请你解答】。

D

对于一个四边形来说，
A. 若对角线相互平分，则四边形是平行四边形，但并不能直接判断为矩形。
B.若两组对边分别相等，也只能判定四边形是平行四边形，同样不能直接判断为矩形。
C. 测量一组对角线是否垂直，这并不能直接用于判断四边形是否为矩形，因为对角线垂直并不是矩形的必要条件（例如，菱形的对角线也是垂直的，但菱形不一定是矩形）。
D. 根据矩形的判定定理，如果一个四边形有三个直角，那么它必然是矩形。这是因为四边形的内角和为$360°$，如果其中三个角都是$90°$，那么第四个角也必然是$90°$，从而形成一个矩形。
故只有D符合矩形的判定条件。

例4 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AE$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$。
(1) 求证：$AB = CF$；
(2) 当 $BC$ 与 $AF$ 满足什么数量关系时，四边形 $ABFC$ 是矩形？请说明理由。

【探究点拨】(1) 证 $△ ABE≌△ FCE$ 即可；
(2) 只需 $BC = AF$ 即可。
【规范解答】(1) $\because ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，即 $AB// CF$，（平行四边形的性质）
$\therefore∠ ABE=∠ ECF$。（平行线的性质）
又 $BE = CE$，（中点的性质）
$∠ AEB=∠ FEC$，（对顶角相等）
$\therefore△ ABE≌△ FCE(ASA)$，
$\therefore AB = CF$。（全等三角形的对应边相等）
(2) 由(1)知 $ABFC$ 是平行四边形，故只需 $BC = AF$ 时，$□ ABFC$ 是矩形。理由是对角线相等的平行四边形是矩形。

(1) ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，即 $AB // CF$，
∴ $∠ ABE = ∠ FCE$。
∵ $E$ 为 $BC$ 中点，
∴ $BE = CE$。
又 $∠ AEB = ∠ FEC$，
∴ $△ ABE ≌ △ FCE$（ASA），
∴ $AB = CF$。
(2) 当 $BC = AF$ 时，四边形 $ABFC$ 是矩形。
理由：由（1）知 $AB = CF$ 且 $AB // CF$，
∴ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形。
∵ $BC = AF$，
∴ 平行四边形 $ABFC$ 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。