【例 2】某中学开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从该校八年级的 400 名同学中随机抽取 20 名同学，统计各自家庭一个月的节水情况，有关数据如下表：

利用以上数据估计这 400 名同学的家庭一个月节约用水的总量是 m³。

1 040

【解析】
1. 计算抽取的20名同学家庭一个月的平均节水量：
$\bar{x} = \frac{1.5×2 + 2×3 + 2.5×6 + 3×7 + 3.5×2}{2+3+6+7+2} = \frac{3 + 6 + 15 + 21 + 7}{20} = 2.6 \, (\mathrm{m}^3)$
2. 估计400名同学的家庭一个月节约用水的总量：
$400×2.6 = 1040 \, (\mathrm{m}^3)$
【答案】
1040
【知识点】
加权平均数，用样本估计总体
【点评】
本题考查用样本的加权平均数估计总体的平均水平，进而计算总体总量，解题关键是准确计算样本的平均节水量。
【难度系数】
0.8

【例 3】某无线电厂生产一种垫圈，已知垫圈理想的厚度是 5.0 cm，方差是 0.02。现从某批产品中随机抽取 9 个组成一个样本，测得其厚度（单位：cm）如下：
5.1，5.1，4.8，5.0，4.7，5.0，5.2，5.1，5.0。
已知产品合格的条件是样本平均数与总体平均数相差不超过 0.01，样本方差与总体方差相差不超过 0.005，通过样本估计总体，能认为这批产品合格吗？为什么？

解：由题意，可求得样本平均数$\overline{x}=5.0$，样本方差$s^{2}=\frac{1}{45}\approx0.022$．
因为$5.0 - 5.0 = 0 ＜ 0.01$，$0.022 - 0.02 = 0.002 ＜ 0.005$，
所以能认为这批产品合格．

【解析】
1. 计算样本平均数：
$\overline{x}=\frac{5.1+5.1+4.8+5.0+4.7+5.0+5.2+5.1+5.0}{9}=\frac{45}{9}=5.0$
2. 计算样本方差：
先求各数据与样本平均数差的平方和：
$(5.1-5.0)^2×3 + (5.0-5.0)^2×3 + (4.8-5.0)^2 + (4.7-5.0)^2 + (5.2-5.0)^2 = 3×0.01 + 0 + 0.04 + 0.09 + 0.04 = 0.2$
则样本方差$s^2=\frac{0.2}{9}=\frac{1}{45}≈0.022$
3. 对比合格条件：
样本平均数与总体平均数的差为$|5.0 - 5.0|=0＜0.01$，样本方差与总体方差的差为$|0.022 - 0.02|=0.002＜0.005$，均满足合格条件，因此能认为这批产品合格。
【答案】
能认为这批产品合格。因为样本平均数为5.0，与总体平均数的差为0，不超过0.01；样本方差约为0.022，与总体方差的差为0.002，不超过0.005，符合产品合格条件。
【知识点】
样本平均数与方差计算，用样本估计总体
【点评】
本题考查利用样本的数字特征估计总体的数字特征，通过对比合格条件判断产品是否合格，重点考查数据的计算与分析能力。
【难度系数】
0.7