【例 4】某地区 2025 年 5 月和 6 月的空气质量指数(AQI)的箱线图如图所示，AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过 150，说明空气污染较重。下列说法错误的是 ()


A.该地区 2025 年 6 月有较重污染天气
B.该地区 2025 年 6 月的 AQI 值比 5 月的 AQI 值集中
C.该地区 2025 年 5 月的 AQI 值比 6 月的 AQI 值集中
D.从整体上看，该地区 2025 年 5 月的空气质量略好于 6 月

B

【解析】
根据箱线图分析：
1. 6月AQI的最大值超过150，说明6月有较重污染天气，A选项正确；
2. 箱线图的箱体长度反映数据集中程度，箱体越短数据越集中，5月的箱体短于6月，故5月的AQI值比6月集中，B选项错误，C选项正确；
3. 5月AQI的中位数及整体数值均小于6月，AQI越小空气质量越好，故5月空气质量略好于6月，D选项正确。
综上，错误的说法是B。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的解读、数据集中趋势
【点评】
本题考查箱线图的实际应用，需掌握箱线图中各部分的含义，明确AQI值与空气质量的关系，通过对比箱线图判断数据的集中程度与整体水平。
【难度系数】
0.7

【例 5】已知 5 家企业的年利润 x（单位：百万元）分别是 3.5，4.8，2.9，5.2，3.2，依据组内离差平方和最小的原则，将这 5 家企业的年利润分为两组。

解：分为$\{2.9,3.2,3.5\}$和$\{4.8,5.2\}$两组．

【解析】
依据组内离差平方和最小的原则，需计算不同分组方式的组内离差平方和并比较大小：
1. 若分为1个和4个元素的两组，计算可得其组内离差平方和明显较大；
2. 若分为2个和3个元素的两组：
分组为$\{2.9,3.2,3.5\}$和$\{4.8,5.2\}$时：
第一组均值为$\frac{2.9+3.2+3.5}{3}=3.2$，组内离差平方和为$(2.9-3.2)^2+(3.2-3.2)^2+(3.5-3.2)^2=0.18$；
第二组均值为$\frac{4.8+5.2}{2}=5$，组内离差平方和为$(4.8-5)^2+(5.2-5)^2=0.08$；
总组内离差平方和为$0.18+0.08=0.26$。
其他2和3的分组方式的总组内离差平方和均大于0.26。
综上，该分组的组内离差平方和最小，符合要求。
【答案】
分为$\{2.9,3.2,3.5\}$和$\{4.8,5.2\}$两组。
【知识点】
组内离差平方和、聚类分组原则
【点评】
本题考查组内离差平方和最小原则的实际应用，需通过计算不同分组的离差平方和并比较大小确定最优分组，要求掌握离差平方和的计算方法及聚类分组的基本思想。
【难度系数】
0.4