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4. 计算：
（1）$(- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$；
（2）$- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n)$；
（3）$( \dfrac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \dfrac{1}{2}a^{m} )$；
（4）$(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3)$.
（1）$(- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2})$；
（2）$- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n)$；
（3）$( \dfrac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \dfrac{1}{2}a^{m} )$；
（4）$(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3)$.
答案
（1）
$\begin{aligned} (&- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2}) \\&= (- 2y^{2})^{2} - (3x)^{2} \\&= 4y^{4} - 9x^{2} \end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned} &- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n) \\&= - [(3m^{2})^{2} - n^{2}] \\&= - (9m^{4} - n^{2}) \\&= n^{2} - 9m^{4} \end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned} &(\frac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \frac{1}{2}a^{m} ) \\&= (\frac{1}{2}a^{m})^{2} - (b^{n})^{2} \\&= \frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n} \end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) \\&= x^{2} - 9 - (x^{2} - x - 6) \\&= x - 3\end{aligned}$
$\begin{aligned} (&- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2}) \\&= (- 2y^{2})^{2} - (3x)^{2} \\&= 4y^{4} - 9x^{2} \end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned} &- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n) \\&= - [(3m^{2})^{2} - n^{2}] \\&= - (9m^{4} - n^{2}) \\&= n^{2} - 9m^{4} \end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned} &(\frac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \frac{1}{2}a^{m} ) \\&= (\frac{1}{2}a^{m})^{2} - (b^{n})^{2} \\&= \frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n} \end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) \\&= x^{2} - 9 - (x^{2} - x - 6) \\&= x - 3\end{aligned}$
解析
【分析】
这四道小题可通过平方差公式或结合多项式乘法法则求解，核心是准确识别式子结构：
1. 对于（1）（2）（3），关键是将式子转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，找准公式中的$a$和$b$；
2. 对于（4），先分别用平方差公式计算前一项、多项式乘多项式法则计算后一项，再去括号合并同类项。
具体来说：
（1）把$-2y^2$看作$a$，$3x$看作$b$，原式可变形为$(-2y^2 - 3x)(-2y^2 + 3x)$，符合平方差公式结构；
（2）先对$(3m^2 - n)(3m^2 + n)$用平方差公式计算，再处理前面的负号；
（3）把$\frac{1}{2}a^m$看作$a$，$b^n$看作$b$，原式可变形为$(\frac{1}{2}a^m - b^n)(\frac{1}{2}a^m + b^n)$，直接套用平方差公式；
（4）先计算两个乘积项，再去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2}) \\&= (- 2y^{2})^{2} - (3x)^{2} \\&= 4y^{4} - 9x^{2}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n) \\&= - [(3m^{2})^{2} - n^{2}] \\&= - (9m^{4} - n^{2}) \\&= n^{2} - 9m^{4}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \frac{1}{2}a^{m} ) \\&= (\frac{1}{2}a^{m})^{2} - (b^{n})^{2} \\&= \frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) \\&= x^{2} - 9 - (x^{2} - x - 6) \\&= x^{2} - 9 - x^{2} + x + 6 \\&= x - 3\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{4y^{4} - 9x^{2}}$；
（2）$\boldsymbol{n^{2} - 9m^{4}}$；
（3）$\boldsymbol{\frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n}}$；
（4）$\boldsymbol{x - 3}$
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，同时涉及多项式乘法与合并同类项运算。解题时需准确识别平方差公式的结构特征，特别注意符号的处理，避免因符号失误导致计算错误。
【难度系数】
0.6
这四道小题可通过平方差公式或结合多项式乘法法则求解，核心是准确识别式子结构：
1. 对于（1）（2）（3），关键是将式子转化为平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，找准公式中的$a$和$b$；
2. 对于（4），先分别用平方差公式计算前一项、多项式乘多项式法则计算后一项，再去括号合并同类项。
具体来说：
（1）把$-2y^2$看作$a$，$3x$看作$b$，原式可变形为$(-2y^2 - 3x)(-2y^2 + 3x)$，符合平方差公式结构；
（2）先对$(3m^2 - n)(3m^2 + n)$用平方差公式计算，再处理前面的负号；
（3）把$\frac{1}{2}a^m$看作$a$，$b^n$看作$b$，原式可变形为$(\frac{1}{2}a^m - b^n)(\frac{1}{2}a^m + b^n)$，直接套用平方差公式；
（4）先计算两个乘积项，再去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(- 2y^{2} - 3x)(3x - 2y^{2}) \\&= (- 2y^{2})^{2} - (3x)^{2} \\&= 4y^{4} - 9x^{2}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&- (3m^{2} - n)(3m^{2} + n) \\&= - [(3m^{2})^{2} - n^{2}] \\&= - (9m^{4} - n^{2}) \\&= n^{2} - 9m^{4}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}a^{m} - b^{n} )( b^{n} + \frac{1}{2}a^{m} ) \\&= (\frac{1}{2}a^{m})^{2} - (b^{n})^{2} \\&= \frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&(x + 3)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) \\&= x^{2} - 9 - (x^{2} - x - 6) \\&= x^{2} - 9 - x^{2} + x + 6 \\&= x - 3\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{4y^{4} - 9x^{2}}$；
（2）$\boldsymbol{n^{2} - 9m^{4}}$；
（3）$\boldsymbol{\frac{1}{4}a^{2m} - b^{2n}}$；
（4）$\boldsymbol{x - 3}$
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，同时涉及多项式乘法与合并同类项运算。解题时需准确识别平方差公式的结构特征，特别注意符号的处理，避免因符号失误导致计算错误。
【难度系数】
0.6
5. 如图是一块边长为$a\ \mathrm{m}$的正方形草坪，东西方向需要加长$4\ \mathrm{m}$，南北方向需要缩短$4\ \mathrm{m}$.改造后的草坪面积与原来相等吗？若不相等，其面积发生了什么变化？
答案
原正方形草坪边长为$a$ m，面积为$a × a = a^{2} \ (\mathrm{m^{2}})$。
改造后，东西方向加长4 m，南北方向缩短4 m，所以改造后的长方形草坪的长为$(a + 4)$m，宽为$(a - 4)$m。
改造后的面积$S = (a + 4)(a - 4)$
$= a^{2} - 4a + 4a - 16$
$= a^{2} - 16 \ (\mathrm{m^{2}})$
比较改造前后的面积，可以看出：
$a^{2} - 16 ＜ a^{2}$。
即改造后的面积比原来的面积小，且缩小了$16\mathrm{m^{2}}$。
答：改造后的草坪面积与原来不相等，面积减少了$16\mathrm{m^{2}}$。
改造后，东西方向加长4 m，南北方向缩短4 m，所以改造后的长方形草坪的长为$(a + 4)$m，宽为$(a - 4)$m。
改造后的面积$S = (a + 4)(a - 4)$
$= a^{2} - 4a + 4a - 16$
$= a^{2} - 16 \ (\mathrm{m^{2}})$
比较改造前后的面积，可以看出：
$a^{2} - 16 ＜ a^{2}$。
即改造后的面积比原来的面积小，且缩小了$16\mathrm{m^{2}}$。
答：改造后的草坪面积与原来不相等，面积减少了$16\mathrm{m^{2}}$。
解析
【分析】
要判断改造前后草坪面积是否相等，需先分别计算原正方形草坪和改造后长方形草坪的面积，再对比两者的大小关系，进而确定面积变化。首先根据正方形面积公式计算原面积，再结合改造后的边长变化确定长方形的长和宽，利用长方形面积公式和整式乘法计算改造后面积，最后作差比较。
【解析】
1. 计算原正方形草坪的面积
已知原正方形草坪边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，可得原面积：
$S_{\mathrm{原}}=a× a=a^2\ \mathrm{m^2}$
2. 确定改造后长方形的长和宽
东西方向加长$4\ \mathrm{m}$，则改造后长方形的长为$(a+4)\ \mathrm{m}$；南北方向缩短$4\ \mathrm{m}$，则改造后长方形的宽为$(a-4)\ \mathrm{m}$。
3. 计算改造后长方形草坪的面积
根据长方形面积公式$S_{\mathrm{长}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得改造后面积：
$S_{\mathrm{改}}=(a+4)(a-4)$
利用平方差公式展开得：
$S_{\mathrm{改}}=a^2-4^2=a^2-16\ \mathrm{m^2}$
4. 对比面积并分析变化
因为$a^2-16 ＜ a^2$，且$a^2-(a^2-16)=16\ \mathrm{m^2}$，所以改造后的面积比原来的面积减少了$16\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
改造后的草坪面积与原来不相等，面积减少了$16\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
正方形面积公式，长方形面积公式，平方差公式
【点评】
本题考查整式乘法的实际应用，需结合图形边长的变化，准确运用面积公式计算，通过平方差公式简化运算，对比改造前后的面积得出结论，重点在于将实际问题转化为整式运算问题。
【难度系数】
0.6
要判断改造前后草坪面积是否相等，需先分别计算原正方形草坪和改造后长方形草坪的面积，再对比两者的大小关系，进而确定面积变化。首先根据正方形面积公式计算原面积，再结合改造后的边长变化确定长方形的长和宽，利用长方形面积公式和整式乘法计算改造后面积，最后作差比较。
【解析】
1. 计算原正方形草坪的面积
已知原正方形草坪边长为$a\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，可得原面积：
$S_{\mathrm{原}}=a× a=a^2\ \mathrm{m^2}$
2. 确定改造后长方形的长和宽
东西方向加长$4\ \mathrm{m}$，则改造后长方形的长为$(a+4)\ \mathrm{m}$；南北方向缩短$4\ \mathrm{m}$，则改造后长方形的宽为$(a-4)\ \mathrm{m}$。
3. 计算改造后长方形草坪的面积
根据长方形面积公式$S_{\mathrm{长}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得改造后面积：
$S_{\mathrm{改}}=(a+4)(a-4)$
利用平方差公式展开得：
$S_{\mathrm{改}}=a^2-4^2=a^2-16\ \mathrm{m^2}$
4. 对比面积并分析变化
因为$a^2-16 ＜ a^2$，且$a^2-(a^2-16)=16\ \mathrm{m^2}$，所以改造后的面积比原来的面积减少了$16\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
改造后的草坪面积与原来不相等，面积减少了$16\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
正方形面积公式，长方形面积公式，平方差公式
【点评】
本题考查整式乘法的实际应用，需结合图形边长的变化，准确运用面积公式计算，通过平方差公式简化运算，对比改造前后的面积得出结论，重点在于将实际问题转化为整式运算问题。
【难度系数】
0.6
