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6. 计算 $1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2021+2022-2023-2024+2025$.
答案
解:1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2021+2022-2023-2024+2025
=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(2021+2022-2023-2024)+2025
=(-4)+(-4)+(-4)+…+(-4)+2025
=(-4)×506+2025
=1.
=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+…+(2021+2022-2023-2024)+2025
=(-4)+(-4)+(-4)+…+(-4)+2025
=(-4)×506+2025
=1.
解析
【分析】
首先观察算式的符号和数字特征：运算符号从左到右按照“+、+、-、-”循环出现，数字是从1开始的连续正整数，因此可以采用分组法简化运算。先把每4个数划为一组，计算每组的固定结果，再统计1到2024之间共有多少组，将所有组的结果求和后，加上最后单独的数字2025就能得到最终结果。
【解析】
观察算式可知每4个数为一组，每组的运算结果相等：
$1+2-3-4=-4$
$5+6-7-8=-4$
……
$2021+2022-2023-2024=-4$
从1到2024的总组数：$2024÷4=506$（组）
因此原式变形为：
$\begin{split}&(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+\dots+(2021+2022-2023-2024)+2025\\=&(-4)×506 + 2025\\=&-2024 + 2025\\=&1\end{split}$
【答案】
$1$
【知识点】
有理数加减混合运算，数字规律探究，分组巧算
【点评】
本题是有理数加减简便运算的典型题型，核心是通过观察找到算式的分组规律，将冗长的逐次运算转化为简单的乘法、加法运算，既降低了运算量，也能减少计算错误，主要考查学生的观察能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
首先观察算式的符号和数字特征：运算符号从左到右按照“+、+、-、-”循环出现，数字是从1开始的连续正整数，因此可以采用分组法简化运算。先把每4个数划为一组，计算每组的固定结果，再统计1到2024之间共有多少组，将所有组的结果求和后，加上最后单独的数字2025就能得到最终结果。
【解析】
观察算式可知每4个数为一组，每组的运算结果相等：
$1+2-3-4=-4$
$5+6-7-8=-4$
……
$2021+2022-2023-2024=-4$
从1到2024的总组数：$2024÷4=506$（组）
因此原式变形为：
$\begin{split}&(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+\dots+(2021+2022-2023-2024)+2025\\=&(-4)×506 + 2025\\=&-2024 + 2025\\=&1\end{split}$
【答案】
$1$
【知识点】
有理数加减混合运算，数字规律探究，分组巧算
【点评】
本题是有理数加减简便运算的典型题型，核心是通过观察找到算式的分组规律，将冗长的逐次运算转化为简单的乘法、加法运算，既降低了运算量，也能减少计算错误，主要考查学生的观察能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
7. 计算 $-24×\left(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}-1\right)$.
答案
解:-24×($\frac{7}{12}$-$\frac{5}{6}$-1)
=-24×$\frac{7}{12}$-(-24)×$\frac{5}{6}$-(-24)×1
=-14+20+24
=30.
=-24×$\frac{7}{12}$-(-24)×$\frac{5}{6}$-(-24)×1
=-14+20+24
=30.
解析
【分析】
观察算式特点，括号外的因数-24是括号内各分数分母的公倍数，若先通分计算括号内的加减运算步骤较繁琐，因此优先选择乘法分配律简化计算。解题时要按照乘法分配律的规则，将-24分别与括号内的每一项相乘，相乘过程中需特别注意符号运算规则，同时不要漏乘括号内的常数项-1。
【解析】
解：$\begin{split}&-24×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}-1)\\=&-24×\frac{7}{12}-(-24)×\frac{5}{6}-(-24)×1\\=&-14+20+24\\=&30\end{split}$
【答案】
$30$
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，合理运用乘法分配律可省去通分步骤，降低计算量。解题的易错点为展开时符号处理错误，或者漏乘括号内的常数项，计算时需重点关注这两个问题。
【难度系数】
0.7
观察算式特点，括号外的因数-24是括号内各分数分母的公倍数，若先通分计算括号内的加减运算步骤较繁琐，因此优先选择乘法分配律简化计算。解题时要按照乘法分配律的规则，将-24分别与括号内的每一项相乘，相乘过程中需特别注意符号运算规则，同时不要漏乘括号内的常数项-1。
【解析】
解：$\begin{split}&-24×(\frac{7}{12}-\frac{5}{6}-1)\\=&-24×\frac{7}{12}-(-24)×\frac{5}{6}-(-24)×1\\=&-14+20+24\\=&30\end{split}$
【答案】
$30$
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、有理数加减运算
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，合理运用乘法分配律可省去通分步骤，降低计算量。解题的易错点为展开时符号处理错误，或者漏乘括号内的常数项，计算时需重点关注这两个问题。
【难度系数】
0.7
8. 计算 $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}\right)×\left(1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{2021}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{2022}\right)×\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2021}\right)$.
答案
解:设a=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2022}$,
b=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$,
则($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2022}$)×(1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2021}$)-(1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2022}$)×($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$)
=a×(1+b)-(1+a)×b
=a+ab-b-ab
=a-b
=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2022}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$)
=$\frac{1}{2022}$.
b=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$,
则($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2022}$)×(1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2021}$)-(1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2022}$)×($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$)
=a×(1+b)-(1+a)×b
=a+ab-b-ab
=a-b
=($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2022}$)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2021}$)
=$\frac{1}{2022}$.
解析
【分析】
观察算式可知，式中存在多处重复的分数求和部分，若直接计算各部分分数和再相乘，运算量极大且极易出错。因此采用换元法，把两个重复出现的长分数和分别设为字母a、b，将复杂的分数运算转化为简单的整式运算，展开后中间同类项会抵消，最后计算两个字母的差即可快速得到结果。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}$，$b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2021}$，
则原式$=a×(1+b)-(1+a)× b$
$=a+ab-b-ab$
$=a-b$
将a、b代回可得：
$a-b=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2021})=\frac{1}{2022}$
【答案】
$\frac{1}{2022}$
【知识点】
换元法，整式乘法运算，分数加减运算
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，核心是通过换元法替换算式中重复出现的复杂部分，将繁琐的分数运算转化为简单的整式化简，大幅降低运算量，同时减少计算错误，需要掌握这类换元技巧，学会识别算式中重复的运算模块。
【难度系数】
0.6
观察算式可知，式中存在多处重复的分数求和部分，若直接计算各部分分数和再相乘，运算量极大且极易出错。因此采用换元法，把两个重复出现的长分数和分别设为字母a、b，将复杂的分数运算转化为简单的整式运算，展开后中间同类项会抵消，最后计算两个字母的差即可快速得到结果。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}$，$b=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2021}$，
则原式$=a×(1+b)-(1+a)× b$
$=a+ab-b-ab$
$=a-b$
将a、b代回可得：
$a-b=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2021})=\frac{1}{2022}$
【答案】
$\frac{1}{2022}$
【知识点】
换元法，整式乘法运算，分数加减运算
【点评】
本题是有理数巧算的典型题型，核心是通过换元法替换算式中重复出现的复杂部分，将繁琐的分数运算转化为简单的整式化简，大幅降低运算量，同时减少计算错误，需要掌握这类换元技巧，学会识别算式中重复的运算模块。
【难度系数】
0.6
9. 阅读材料：
计算 $\left(-\frac{1}{24}\right)÷\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)$.
分析：利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得原式的值.
解：$\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)÷\left(-\frac{1}{24}\right)$
$=\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)×(-24)$
$=-16+18-21$
$=-19$.
所以 $\left(-\frac{1}{24}\right)÷\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)= -\frac{1}{19}$.
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算：
$\left(-\frac{1}{42}\right)÷\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6}\right)$.
计算 $\left(-\frac{1}{24}\right)÷\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)$.
分析：利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得原式的值.
解：$\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)÷\left(-\frac{1}{24}\right)$
$=\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)×(-24)$
$=-16+18-21$
$=-19$.
所以 $\left(-\frac{1}{24}\right)÷\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)= -\frac{1}{19}$.
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算：
$\left(-\frac{1}{42}\right)÷\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6}\right)$.
答案
解:($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$-$\frac{5}{6}$)÷(-$\frac{1}{42}$)
=($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$-$\frac{5}{6}$)×(-42)
=-21+14-30+35
=-2,
则原式=-$\frac{1}{2}$.
=($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{5}{7}$-$\frac{5}{6}$)×(-42)
=-21+14-30+35
=-2,
则原式=-$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题可借鉴材料给出的倒数法简化计算：若直接先计算除数的通分结果步骤繁琐，我们可以先求出原式的倒数，即将被除数和除数调换位置，把除法转化为乘法后利用乘法分配律快速算出倒数的结果，最后对结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
先计算原式的倒数：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{42})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为乘法运算：
$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\frac{1}{2}×(-42)-\frac{1}{3}×(-42)+\frac{5}{7}×(-42)-\frac{5}{6}×(-42)$
$=-21+14-30+35$
$=-2$
根据倒数的定义，原式为上述结果的倒数，因此：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
倒数的意义；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题属于阅读类运算题，借助材料给出的倒数法可以有效降低运算量，避免复杂的通分步骤，主要考查对材料的阅读理解能力和有理数运算方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题可借鉴材料给出的倒数法简化计算：若直接先计算除数的通分结果步骤繁琐，我们可以先求出原式的倒数，即将被除数和除数调换位置，把除法转化为乘法后利用乘法分配律快速算出倒数的结果，最后对结果取倒数即可得到原式的值。
【解析】
先计算原式的倒数：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})÷(-\frac{1}{42})$
根据有理数除法法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为乘法运算：
$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\frac{1}{2}×(-42)-\frac{1}{3}×(-42)+\frac{5}{7}×(-42)-\frac{5}{6}×(-42)$
$=-21+14-30+35$
$=-2$
根据倒数的定义，原式为上述结果的倒数，因此：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{5}{7}-\frac{5}{6})=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
倒数的意义；有理数除法运算；乘法分配律
【点评】
本题属于阅读类运算题，借助材料给出的倒数法可以有效降低运算量，避免复杂的通分步骤，主要考查对材料的阅读理解能力和有理数运算方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
