10. 某人从$A$地到$B$地的速度为$v_{1}$，从$B$地返回$A$地的速度为$v_{2}$。若$v_{1} ≠ v_{2}$，则此人在$A$地与$B$地之间往返一次的平均速度是()

A.$\dfrac{2v_{1}v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$
B.$\dfrac{v_{1} + v_{2}}{2v_{1}v_{2}}$
C.$\dfrac{v_{1} + v_{2}}{2}$
D.$\dfrac{2}{v_{1} + v_{2}}$

10. A

11. 已知$\dfrac{x + 5}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{A}{x + 1} - \dfrac{B}{x - 3}$，则$A =$，$B =$。

11. $-1$ $-2$

12. 已知$x + y = - 4$，$xy = - 10$，求$\dfrac{y + 1}{x + 1} + \dfrac{x + 1}{y + 1}$的值。

12. 解：原式$=\frac{(y + 1)^{2}+(x + 1)^{2}}{(x + 1)(y + 1)}=\frac{(x^{2}+y^{2})+2(x + y)+2}{xy+(x + y)+1}=\frac{(x + y)^{2}-2xy + 2(x + y)+2}{xy+(x + y)+1}$。
因为$x + y=-4$，$xy=-10$，
所以原式$=\frac{(-4)^{2}-2×(-10)+2×(-4)+2}{-10+(-4)+1}=\frac{16 + 20-8 + 2}{-13}=-\frac{30}{13}$。

13. 已知$x^{2} + 3x - 1 = 0$，求代数式$\dfrac{x - 3}{3x^{2} - 6x} ÷ (x + 2 - \dfrac{5}{x - 2})$的值。

13. 解：$\frac{x - 3}{3x^{2}-6x}÷(x + 2-\frac{5}{x - 2})=\frac{x - 3}{3x(x - 2)}÷\frac{x^{2}-4-5}{x - 2}=\frac{x - 3}{3x(x - 2)}·\frac{x - 2}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{1}{3x(x + 3)}=\frac{1}{3x^{2}+9x}$。
因为$x^{2}+3x - 1 = 0$，
所以$x^{2}+3x = 1$，所以$3x^{2}+9x = 3$，
所以原式$=\frac{1}{3}$。

14. 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加 200 元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究。设爸爸妈妈第一次加油时油价为$x$元/升，第二次加油时油价为$y$元/升。
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格。（用含$x$，$y$的代数式表示）
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由。

14. 解：(1)由题意可得，
妈妈两次加油的总量是$\frac{200}{x}+\frac{200}{y}=\frac{200y + 200x}{xy}$（升），
妈妈两次加油的平均价格是$\frac{400}{\frac{200y + 200x}{xy}}=\frac{2xy}{x + y}$（元/升），
即妈妈两次加油的总量是$\frac{200y + 200x}{xy}$升，妈妈两次加油的平均价格是$\frac{2xy}{x + y}$元/升。
(2)设油箱的容积是$a$升，则爸爸两次加油的平均价格是$\frac{ax + ay}{2a}=\frac{x + y}{2}$（元/升），
$\frac{2xy}{x + y}-\frac{x + y}{2}=\frac{4xy-(x + y)^{2}}{2(x + y)}=\frac{-(x - y)^{2}}{2(x + y)}≤0$。
当$x = y$时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当$x≠ y$时，妈妈的加油方式更省钱。