14. 已知在三角形$ABC$中，$AC = 7$，$BC = 3$，$\cos B = \frac{1}{2}$，求$△ ABC$中最大角的正弦值.

14. 解:过点 $ C $ 作 $ CD $ 垂直 $ AB $ 于点 $ D $，因为 $ BC=3 $，
$ \cos B=\dfrac{1}{2} $，所以 $ BD=\dfrac{3}{2} $。在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，由勾股
定理可得 $ CD=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} $，在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，由勾股定理
可求出 $ AD=\dfrac{13}{2} $，所以 $ AB=8 $，所以 $ ∠ C $ 为锐角三角
形 $ ABC $ 中最大的角。所以 $ \sin C=\dfrac{2S_{△ CAB}}{CA· CB}= \dfrac{AB· CD}{CA· CB}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7} $。

【解析】
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$。
因为$BC=3$，$\cos B=\frac{1}{2}$，根据余弦定义得$BD=BC·\cos B=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=7$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{7^2-(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{13}{2}$。
所以$AB=AD+BD=\frac{13}{2}+\frac{3}{2}=8$。
比较三边长度：$AB=8$，$AC=7$，$BC=3$，$AB$最长，故$∠ C$为$△ ABC$中最大的角。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC·\sin C$，可得$\sin C=\frac{AB· CD}{AC· BC}=\frac{8×\frac{3\sqrt{3}}{2}}{7×3}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{3}}{7}$
【知识点】
余弦的定义、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过作高构造直角三角形，结合余弦定义、勾股定理求出三角形边长以确定最大角，再利用面积公式转化求出最大角的正弦值，考查了直角三角形性质与三角形面积公式的综合运用。
【难度系数】
0.6

15. 如图，已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，过点$A$作$AE⊥ CD$，$AE$分别与$CD$，$CB$相交于点$H$，$E$，$AH = 2CH$.
（1）求$\sin B$的值；
（2）如果$CD = \sqrt{5}$，求$BE$的长.

15. 解(1)$ \because ∠ ACB=90° $，$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线，
$ \therefore CD=BD $，$ \therefore ∠ B=∠ BCD $。
$ \because AE⊥ CD $，
$ \therefore ∠ CAH+∠ ACH=90° $。
又 $ \because ∠ ACB=90° $，
$ \therefore ∠ BCD+∠ ACH=90° $，
$ \therefore ∠ B=∠ BCD=∠ CAH $。
$ \because AH=2CH $，
$ \therefore $ 由勾股定理可得出 $ AC=\sqrt{5}CH $，
$ \therefore CH:AC=1:\sqrt{5} $，
$ \therefore \sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $。
(2)$ \because \sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $，$ CD=\sqrt{5} $，
$ \therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $，$ AB=2CD=2\sqrt{5} $，
$ \therefore AC=2 $。
$ \because ∠ B=∠ CAH $，
$ \therefore \sin ∠ CAH=\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} $，
$ \therefore \dfrac{CE}{AE}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} $。
设 $ CE=x(x＞0) $，则 $ AE=\sqrt{5}x $，则 $ x^{2}+2^{2}=(\sqrt{5}x)^{2} $，
$ \therefore CE=x=1 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} $，
$ \therefore 2^{2}+BC^{2}=(2\sqrt{5})^{2} $，
$ \therefore BC=4 $，
$ \therefore BE=BC-CE=3 $。

【解析】
(1) $\because ∠ ACB=90° $，$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线，
$\therefore CD=BD $，$\therefore ∠ B=∠ BCD $。
$\because AE⊥ CD $，
$\therefore ∠ CAH+∠ ACH=90° $。
又 $\because ∠ ACB=90° $，
$\therefore ∠ BCD+∠ ACH=90° $，
$\therefore ∠ B=∠ CAH $。
$\because AH=2CH $，由勾股定理得$ AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{5}CH $，
$\therefore \dfrac{CH}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{5}} $，
$\therefore \sin B=\sin∠CAH=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $。
(2) $\because CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线，$ CD=\sqrt{5} $，
$\therefore AB=2CD=2\sqrt{5} $。
由$\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{AC}{AB} $，得$ AC=2 $。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4 $。
$\because ∠ CAH=∠ B $，$\therefore \sin∠ CAH=\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $，
设$ CE=x(x＞0) $，则$ AE=\sqrt{5}x $，在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得$ x^2+2^2=(\sqrt{5}x)^2 $，
解得$ x=1 $，即$ CE=1 $，
$\therefore BE=BC-CE=4-1=3 $。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}}$；
(2) $\boldsymbol{BE=3}$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的性质、锐角三角函数及勾股定理的应用，解题关键是借助直角三角形斜边中线的性质转化角的关系，再结合三角函数与勾股定理逐步求解。
【难度系数】
0.6