3. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$交于点$O$，点$E$是$BC$边的中点，$OE = 1$，则$AB$的长是().

A.$1$
B.$2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$4$

B

1. 由于四边形$ABCD$是平行四边形，其对角线互相平分，故$O$是$AC$的中点。
2. 因为点$E$是$BC$的中点，所以$OE$是$△ ABC$的中位线。
3. 根据三角形中位线定理，可得$OE=\frac{1}{2}AB$。
4. 已知$OE=1$，因此$AB=2OE=2×1=2$。

4. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$AC$，$AD$，$AE$的中点，若$BC = 8$，则$DE + FG$等于().

A.$4.5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

B

1. 因为D，E是AB，AC的中点，根据三角形中位线定理，可得$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC=8$，则$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
2. 因为F，G是AD，AE的中点，同理可得$FG=\frac{1}{2}DE$，则$FG=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 计算得$DE+FG=4+2=6$。

5. 如图，要测量池塘两岸相对的$A$，$B$两点间的距离，可以在池塘外选一点$C$，连接$AC$，$BC$，分别取$AC$，$BC$的中点$D$，$E$，测得$DE = 50\ \mathrm{m}$，则$AB$的长是$\mathrm{m}$.

100

因为D，E分别是AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，AB=2DE。已知DE=50m，因此AB=2×50=100m。

6. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$，$BC$的中点，则图中平行四边形共有个；若$AC = 5$，$AB = 10$，$BC = 7$，则$△ DEF$的周长是.

3；11

1. 确定平行四边形个数：
根据三角形中位线定理，D、E为AB、AC中点，故$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$；F为BC中点，$BF=FC=\frac{1}{2}BC$，因此$DE// BF$且$DE=BF$，$DE// FC$且$DE=FC$，可得四边形$DEFB$、$DEFC$是平行四边形；
同理，D、F为AB、BC中点，$DF// AC$且$DF=\frac{1}{2}AC$，E为AC中点，$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，故$DF// AE$且$DF=AE$，四边形$ADFE$是平行四边形。综上，平行四边形共有3个。
2. 计算$△ DEF$的周长：
由三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，则$△ DEF$的周长$=DE+DF+EF=\frac{1}{2}(BC+AC+AB)=\frac{1}{2}(7+5+10)=11$。

7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 6$，$AC = 8$，$D$，$E$分别为$AC$，$AB$的中点，连接$DE$，则$△ ADE$的面积是.

6

1. 因为D是AC中点，$AC=8$，所以$AD=\frac{1}{2} × 8=4$；
2. 由于E是AB中点，DE是$△ ABC$的中位线，根据中位线性质，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 6=3$，且$DE // BC$，因此$∠ ADE=∠ C=90°$；
3. 计算$△ ADE$的面积：$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。

8. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，$AF$与$BE$交于点$G$，$EC$与$DF$交于点$H$，若$GH = 3$，则$AD$的长度为.

6

1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。
2. 已知$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，故$AE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，因此$AE=BF$且$AE// BF$，所以四边形$ABFE$是平行四边形，可得$G$为$BE$的中点。
3. 同理，四边形$EFCD$是平行四边形，可得$H$为$EC$的中点。
4. 在$△ BEC$中，$G$是$BE$中点，$H$是$EC$中点，根据三角形中位线定理，$GH=\frac{1}{2}BC$。
5. 结合$AD=BC$，$GH=3$，得$AD=2GH=6$。

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$P$是对角线$BD$的中点，$E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点，$AD = BC$，$∠ PEF = 18°$，则$∠ PFE$的度数是度.

18

因为P是BD的中点，E是AB的中点，所以PE是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理，得$PE=\frac{1}{2}AD$；同理，PF是△BCD的中位线，得$PF=\frac{1}{2}BC$。已知$AD=BC$，所以$PE=PF$，即△PEF是等腰三角形，因此$∠PFE=∠PEF=18°$。

10. 如图，在$△ ABC$中，点$M$为$BC$的中点，$AD$平分$∠ BAC$，且$BD⊥ AD$，垂足为$D$，延长$BD$交$AC$于点$N$，若$AB = 4$，$DM = 1$，则$AC$的长是.

6

1. 由AD平分∠BAC，得∠BAD=∠NAD；BD⊥AD，得∠ADB=∠ADN=90°。
在△ABD和△AND中，$\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠NAD\\ AD=AD\\ ∠ADB=∠ADN\end{array} $，
∴△ABD≌△AND（ASA），故AB=AN=4，BD=DN，即D为BN中点。
2. ∵M为BC中点，D为BN中点，
∴DM是△BCN的中位线，根据三角形中位线定理，$DM=\frac{1}{2}CN$。
已知DM=1，得CN=2×1=2。
3. ∴AC=AN+CN=4+2=6。