登录
变式训练 (1)一个长方形的面积为 $ 6 \sqrt { 6 } \mathrm { cm } ^ { 2 } $，它的一边长为 $ 2 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $，则该边的邻边长为cm.
(2)化简： $ \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } = $.
(2)化简： $ \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } = $.
答案
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $\sqrt{3} + 1$。
解析
(1) 已知长方形的面积 $S = 6\sqrt{6} \mathrm{ cm}^2$，一边长 $a = 2\sqrt{3}\mathrm{ cm}$，
根据长方形面积的定义，有 $S = a × b$，其中 $b$ 是该边的邻边长。
则邻边长 $b$ 可以由 $b = \frac{S}{a}$ 计算得出，
代入已知数值，得$b = \frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \mathrm{ cm}$。
(2)要化简 $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$，
首先，我们尝试将其写成完全平方的形式。
观察 $4 + 2\sqrt{3}$，可以发现它可以写成 $3 + 2\sqrt{3} + 1$，即 $(\sqrt{3} + 1)^2$。
因此，$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$。
根据长方形面积的定义，有 $S = a × b$，其中 $b$ 是该边的邻边长。
则邻边长 $b$ 可以由 $b = \frac{S}{a}$ 计算得出，
代入已知数值，得$b = \frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \mathrm{ cm}$。
(2)要化简 $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$，
首先，我们尝试将其写成完全平方的形式。
观察 $4 + 2\sqrt{3}$，可以发现它可以写成 $3 + 2\sqrt{3} + 1$，即 $(\sqrt{3} + 1)^2$。
因此，$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$。
例2 化简：
（1） $ \sqrt { \frac { 7 } { 25 } } $； （2） $ \sqrt { \frac { 500 } { 49 } } $；
（3） $ \frac { \sqrt { 9 y ^ { 3 } } } { 54 y ^ { 2 } } $； （4） $ \sqrt { \frac { 0.04 × 121 } { 0.25 × 100 } } $.
（1） $ \sqrt { \frac { 7 } { 25 } } $； （2） $ \sqrt { \frac { 500 } { 49 } } $；
（3） $ \frac { \sqrt { 9 y ^ { 3 } } } { 54 y ^ { 2 } } $； （4） $ \sqrt { \frac { 0.04 × 121 } { 0.25 × 100 } } $.
答案
（1）$\sqrt{\frac{7}{25}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{7}}{5}$
（2）$\sqrt{\frac{500}{49}}=\frac{\sqrt{500}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{100×5}}{7}=\frac{10\sqrt{5}}{7}$
（3）$\frac{\sqrt{9y^3}}{54y^2}=\frac{\sqrt{9y^2· y}}{54y^2}=\frac{3y\sqrt{y}}{54y^2}=\frac{\sqrt{y}}{18y}$
（4）$\sqrt{\frac{0.04×121}{0.25×100}}=\frac{\sqrt{0.04×121}}{\sqrt{0.25×100}}=\frac{\sqrt{0.04}×\sqrt{121}}{\sqrt{0.25}×\sqrt{100}}=\frac{0.2×11}{0.5×10}=\frac{2.2}{5}=\frac{11}{25}$
（2）$\sqrt{\frac{500}{49}}=\frac{\sqrt{500}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{100×5}}{7}=\frac{10\sqrt{5}}{7}$
（3）$\frac{\sqrt{9y^3}}{54y^2}=\frac{\sqrt{9y^2· y}}{54y^2}=\frac{3y\sqrt{y}}{54y^2}=\frac{\sqrt{y}}{18y}$
（4）$\sqrt{\frac{0.04×121}{0.25×100}}=\frac{\sqrt{0.04×121}}{\sqrt{0.25×100}}=\frac{\sqrt{0.04}×\sqrt{121}}{\sqrt{0.25}×\sqrt{100}}=\frac{0.2×11}{0.5×10}=\frac{2.2}{5}=\frac{11}{25}$
变式训练 化简：(1) $ \sqrt { \frac { 50 } { 9 } } = $；
(2) $ \frac { \sqrt { 3 m ^ { 3 } } } { \sqrt { 64 m } } = $.
(2) $ \frac { \sqrt { 3 m ^ { 3 } } } { \sqrt { 64 m } } = $.
答案
(1)$\frac{5\sqrt{2}}{3}$；(2)$\frac{m\sqrt{3}}{8}$
解析
(1) $\sqrt{\frac{50}{9}}=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{25×2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$；
(2) $\frac{\sqrt{3m^3}}{\sqrt{64m}}=\sqrt{\frac{3m^3}{64m}}=\sqrt{\frac{3m^2}{64}}=\frac{m\sqrt{3}}{8}$（$m＞0$）
(2) $\frac{\sqrt{3m^3}}{\sqrt{64m}}=\sqrt{\frac{3m^3}{64m}}=\sqrt{\frac{3m^2}{64}}=\frac{m\sqrt{3}}{8}$（$m＞0$）
例3 计算：
（1） $ \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } } $； （2） $ \frac { 4 \sqrt { 27 } } { \sqrt { 50 } } $；
（3） $ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \sqrt { 90 } } $； （4） $ \frac { \sqrt { 7 m ^ { 2 } } } { \sqrt { 3 m } } $.
名师导引 为去掉 $ \frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } } $ 分母中的根号，通常分子分母同时乘 $ \sqrt { b } $，而当 $ \sqrt { b } $ 可以化简时，一般先化简.
（1） $ \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } } $； （2） $ \frac { 4 \sqrt { 27 } } { \sqrt { 50 } } $；
（3） $ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \sqrt { 90 } } $； （4） $ \frac { \sqrt { 7 m ^ { 2 } } } { \sqrt { 3 m } } $.
名师导引 为去掉 $ \frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } } $ 分母中的根号，通常分子分母同时乘 $ \sqrt { b } $，而当 $ \sqrt { b } $ 可以化简时，一般先化简.
答案
（1）$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$
（2）$\frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{50}}=\frac{4×3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{3}×\sqrt{2}}{5\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{6}}{10}=\frac{6\sqrt{6}}{5}$
（3）$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{90}}=\frac{\sqrt{2}}{2×3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$
（4）$\frac{\sqrt{7m^2}}{\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{7}}{\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{7}×\sqrt{3m}}{\sqrt{3m}×\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{21m}}{3m}=\frac{\sqrt{21m}}{3}$（$m＞0$）
（2）$\frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{50}}=\frac{4×3\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{3}×\sqrt{2}}{5\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{6}}{10}=\frac{6\sqrt{6}}{5}$
（3）$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{90}}=\frac{\sqrt{2}}{2×3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6\sqrt{10}×\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$
（4）$\frac{\sqrt{7m^2}}{\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{7}}{\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{7}×\sqrt{3m}}{\sqrt{3m}×\sqrt{3m}}=\frac{m\sqrt{21m}}{3m}=\frac{\sqrt{21m}}{3}$（$m＞0$）
变式训练 化简： $ \frac { 1 } { \sqrt { 12 } } = $； $ \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 150 } } = $.
答案
$\frac{\sqrt{3}}{6}$（第一空），$\frac{\sqrt{2}}{10}$（第二空（题目未要求填选项则按此格式给出化简结果））
解析
对于$\frac{1}{\sqrt{12}}$，先将分母$\sqrt{12}$化简为$2\sqrt{3}$，然后给分子分母同时乘以$\sqrt{3}$进行分母有理化，即$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{12}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
对于$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{150}}$，先将分母$\sqrt{150}$化简为$5\sqrt{6}$，则原式变为$\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{6}}$，再给分子分母同时乘以$\sqrt{6}$进行分母有理化，$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{6}}{5\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}}{30}=\frac{3\sqrt{2}}{30}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
对于$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{150}}$，先将分母$\sqrt{150}$化简为$5\sqrt{6}$，则原式变为$\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{6}}$，再给分子分母同时乘以$\sqrt{6}$进行分母有理化，$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{6}}{5\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}}{30}=\frac{3\sqrt{2}}{30}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。
例4 计算：
（1） $ \sqrt { 27 } × \sqrt { \frac { 8 } { 3 } } ÷ \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } $；
（2） $ 6 \sqrt { 75 } × ( - \frac { 3 } { 2 } × \sqrt { 3 \frac { 3 } { 4 } } ) ÷ ( - 9 \sqrt { 20 } ) $.
名师导引 二次根式的乘除混合运算，先确定符号，然后把根号外的部分及根号内的部分分别相乘除.
（1） $ \sqrt { 27 } × \sqrt { \frac { 8 } { 3 } } ÷ \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } $；
（2） $ 6 \sqrt { 75 } × ( - \frac { 3 } { 2 } × \sqrt { 3 \frac { 3 } { 4 } } ) ÷ ( - 9 \sqrt { 20 } ) $.
名师导引 二次根式的乘除混合运算，先确定符号，然后把根号外的部分及根号内的部分分别相乘除.
答案
（1）$12$；（2）$\frac{15}{4}$
解析
（1）原式$=\sqrt{27×\frac{8}{3}÷\frac{1}{2}}=\sqrt{27×\frac{8}{3}×2}=\sqrt{144}=12$
（2）原式$=6×(-\frac{3}{2})÷(-9)×\sqrt{75×3\frac{3}{4}÷20}$
$=[6×(-\frac{3}{2})÷(-9)]×\sqrt{75×\frac{15}{4}÷20}$
$=1×\sqrt{\frac{1125}{80}}=1×\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
（2）原式$=6×(-\frac{3}{2})÷(-9)×\sqrt{75×3\frac{3}{4}÷20}$
$=[6×(-\frac{3}{2})÷(-9)]×\sqrt{75×\frac{15}{4}÷20}$
$=1×\sqrt{\frac{1125}{80}}=1×\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
变式训练 $ 3 \sqrt { 2 } × \sqrt { 6 } ÷ 2 \sqrt { 8 } = $.
答案
结果为$\frac{3\sqrt{6}}{4}$
解析
根据二次根式的乘除法法则，先将系数与根式分别相乘除，再对根式进行化简。
$3\sqrt{2} × \sqrt{6} ÷ 2\sqrt{8}$
$=\frac{3×\sqrt{2×6}}{2×\sqrt{8}}$
$=\frac{3\sqrt{12}}{2\sqrt{8}}$
因为$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，代入上式可得：
$=\frac{3×2\sqrt{3}}{2×2\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
为了将分母有理化，同时乘以$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，得到：
$=\frac{3\sqrt{3}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{6}}{4}$
$3\sqrt{2} × \sqrt{6} ÷ 2\sqrt{8}$
$=\frac{3×\sqrt{2×6}}{2×\sqrt{8}}$
$=\frac{3\sqrt{12}}{2\sqrt{8}}$
因为$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，代入上式可得：
$=\frac{3×2\sqrt{3}}{2×2\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
为了将分母有理化，同时乘以$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，得到：
$=\frac{3\sqrt{3}×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$
$=\frac{3\sqrt{6}}{4}$
1. 下列二次根式中，最简二次根式是()
A.$ \sqrt { \frac { 2 } { x } } $
B.$ \sqrt { 20 } $
C.$ \sqrt { 9 x ^ { 2 } y } $
D.$ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $
A.$ \sqrt { \frac { 2 } { x } } $
B.$ \sqrt { 20 } $
C.$ \sqrt { 9 x ^ { 2 } y } $
D.$ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $
答案
D
解析
最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式。
A选项$\sqrt{\frac{2}{x}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B选项$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，被开方数含能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式；
C选项$\sqrt{9x^{2}y}=\sqrt{(3x)^{2}y}$，被开方数含能开得尽方的因式$(3x)^{2}$，不是最简二次根式；
D选项$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且因数是整数，因式是整式，是最简二次根式。
A选项$\sqrt{\frac{2}{x}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B选项$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，被开方数含能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式；
C选项$\sqrt{9x^{2}y}=\sqrt{(3x)^{2}y}$，被开方数含能开得尽方的因式$(3x)^{2}$，不是最简二次根式；
D选项$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且因数是整数，因式是整式，是最简二次根式。
2. 化简 $ \sqrt { 75 } ÷ \sqrt { 3 } $ 正确的是()
A.$ 2 \sqrt { 5 } $
B.$ \sqrt { 5 } $
C.5
D.$ \sqrt { 15 } $
A.$ 2 \sqrt { 5 } $
B.$ \sqrt { 5 } $
C.5
D.$ \sqrt { 15 } $
答案
C
解析
根据二次根式的除法法则，有$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），则$\sqrt{75}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25} = 5$。
3. 等式 $ \sqrt { \frac { x } { x - 1 } } = \frac { \sqrt { x } } { \sqrt { x - 1 } } $ 成立的条件是()
A.$ x ≠ 1 $
B.$ x ≥ 0 $
C.$ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 1 $
D.$ x ＞ 1 $
A.$ x ≠ 1 $
B.$ x ≥ 0 $
C.$ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 1 $
D.$ x ＞ 1 $
答案
D
解析
根据二次根式有意义的条件，被开数为非负数且分母不能为0。对于$\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$，则$\frac{x}{x - 1}≥0$；对于$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$，则$x≥0$且$x - 1＞0$。解$x - 1＞0$得$x＞1$，此时$x≥0$自然满足。所以等式成立的条件是$x＞1$。
