11. (★★)已知实数 $ x $，$ y $ 满足 $ \sqrt{x - 1} + \sqrt{y + 3} = 0 $，则 $ x + y $ 的值为【 】

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ 4 $
D.$ -4 $

B

由于算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a}≥0$，要使两个非负项的和为$0$，则这两个非负项必须都为$0$。
已知$\sqrt{x - 1} + \sqrt{y + 3} = 0$，所以可得$\sqrt{x - 1}=0$且$\sqrt{y + 3}=0$。
由$\sqrt{x - 1}=0$，可得$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
由$\sqrt{y + 3}=0$，可得$y + 3 = 0$，解得$y = - 3$。
将$x = 1$，$y = - 3$代入$x + y$，可得$x + y=1 + (-3)= - 2$。

12. (★★)下列计算正确的是【 】

A.$ (\sqrt{10})^2 = 10 $
B.$ \sqrt{(-3)^2} = -3 $
C.$ (-2\sqrt{2})^2 = 2 $
D.当 $ a ＜ 0 $ 时，$ (\sqrt{-a})^2 = a $

A

A 选项：根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{10})^2$，这里$a = 10≥0$，所以$(\sqrt{10})^2=10$，该选项正确。
B 选项：先计算$(-3)^2 = 9$，再计算$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3≠ - 3$，该选项错误。
C 选项：根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，对于$(-2\sqrt{2})^2$，有$(-2)^2×(\sqrt{2})^2=4×2 = 8≠2$，该选项错误。
D 选项：当$a＜0$时，$-a＞0$，根据二次根式的性质$(\sqrt{m})^2=m(m≥0)$，则$(\sqrt{-a})^2=-a≠ a$，该选项错误。

13. (★★)当 $ x ＞ 1 $ 时，化简 $ \sqrt{(x - 1)^2} $ 的结果为【 】

A.$ x - 1 $
B.$ -x - 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $

A

因为 $ x ＞ 1 $，所以 $ x - 1 ＞ 0 $。根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2} = |a|$，当 $ a ＞ 0 $ 时，$|a| = a$，所以 $\sqrt{(x - 1)^2} = x - 1$。

14. (★★)若实数 $ a $，$ b $ 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 $ |a| + \sqrt{(a - b)^2} $ 的结果是【 】


A.$ -2a + b $
B.$ 2a - b $
C.$ -b $
D.$ b $

A

由数轴可知 $a ＜ 0 ＜ b$，因此 $ |a| = -a $。
由于 $a ＜ b$，所以 $a - b ＜ 0$，因此 $\sqrt{(a - b)^2} = |a - b| = -(a - b) = b - a$。
所以，$ |a| + \sqrt{(a - b)^2} = -a + (b - a) = -a + b - a = -2a + b$。

15. (★★)当 $ a $时，$ \dfrac{\sqrt{a^2}}{a} = 1 $；当 $ a $时，$ \dfrac{\sqrt{a^2}}{a} = -1 $。

＞0；＜0

因为$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\dfrac{\sqrt{a^2}}{a} = \dfrac{|a|}{a}$。当$\dfrac{|a|}{a} = 1$时，$|a| = a$且$a ≠ 0$，即$a ＞ 0$；当$\dfrac{|a|}{a} = -1$时，$|a| = -a$且$a ≠ 0$，即$a ＜ 0$。

16. (★★)已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，则化简 $ \sqrt{(a - b - c)^2} $ 的结果是。

因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边长，
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
所以$b + c ＞ a$，
即$a - b - c ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，对$\sqrt{(a - b - c)^2}$进行化简：
$\sqrt{(a - b - c)^2} = |a - b - c|$
因为$a - b - c ＜ 0$，所以$|a - b - c| = -(a - b - c) = b + c - a$，
所以，化简结果为$b + c - a$。
答案为$b + c - a$。

17. (★★)计算：
(1) $ \sqrt{9} $；
(2) $ \sqrt{(-4)^2} $；
(3) $ -(3\sqrt{5})^2 $；
(4) $ ( \dfrac{1}{7}\sqrt{7} )^2 $；
(5) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} $；
(6) $ \sqrt{(3 - π)^2} $；
(7) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} $。

(1)
解：根据算术平方根定义，$\sqrt{9} = 2（原题此处答案应为3）\sqrt{3^2}=3$。
(2)
解：先计算$(-4)^2 = 16$，再根据算术平方根定义，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16} = 4$。
(3)
解：根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$，$(3\sqrt{5})^2 = 3^2×(\sqrt{5})^2=9×5 = 45$，所以$-(3\sqrt{5})^2=-45$。
(4)
解：根据积的乘方公式$(\frac{1}{7}\sqrt{7})^2 = (\frac{1}{7})^2×(\sqrt{7})^2=\frac{1}{49}×7=\frac{1}{7}$。
(5)
解：因为$\sqrt{5}\approx2.24＜3$，所以$\sqrt{5}-3＜0$。
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，当$a＜0$时，$\vert a\vert=-a$，则$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}=\vert\sqrt{5}-3\vert=3 - \sqrt{5}$。
(6)
解：因为$3＜π$，所以$3 - π＜0$。
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，当$a＜0$时，$\vert a\vert=-a$，则$\sqrt{(3 - π)^2}=\vert3 - π\vert=π - 3$。
(7)
解：因为$\sqrt{5}\approx2.24＜4$，所以$\sqrt{5}-4＜0$；又因为$\sqrt{5}\approx2.24＞2$，所以$2 - \sqrt{5}＜0$。
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，当$a＜0$时，$\vert a\vert=-a$，则$\sqrt{(\sqrt{5} - 4)^2}+\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}=\vert\sqrt{5}-4\vert+\vert2 - \sqrt{5}\vert=4 - \sqrt{5}+\sqrt{5}-2 = 2$。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$4$；(3)$-45$；(4)$\frac{1}{7}$；(5)$3 - \sqrt{5}$；(6)$π - 3$；(7)$2$。

18. (★★★)已知 $ a^2 + \sqrt{b - 2} = 6a - 9 $，求 $ \sqrt{ab} $ 的值。

$\sqrt{6}$

$a^2 + \sqrt{b - 2} = 6a - 9$，移项得$a^2 - 6a + 9 + \sqrt{b - 2} = 0$，即$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 2} = 0$。
因为$(a - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{b - 2} ≥ 0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 2 = 0$，解得$a = 3$，$b = 2$。
则$\sqrt{ab} = \sqrt{3×2} = \sqrt{6}$。