7. 四边形 ABCD 是一个正方形的桌面，如果把桌子砍下一个角后，问桌子还剩下几个角？这几个角的和是多少？

7. 解：一个正方形砍下一个角后，桌子还剩下 3 个角、4 个角、5 个角，内角和分别为$180^{\circ}$、$360^{\circ}$、$540^{\circ}$.

8. 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=140^{\circ}$，$∠ D=80^{\circ}$.
（1）如图 ①，若 $∠ B=∠ C$，试求出 $∠ C$ 的度数；
（2）如图 ②，若 $∠ ABC$ 的平分线 $BE$ 交 $DC$ 于点 $E$，且 $BE// AD$，试求出 $∠ C$ 的度数.

8. 解：$\because∠ A+∠ B+∠ C+∠ D = 360^{\circ}$
$∠ B=∠ C$
$\therefore∠ C=\frac{360^{\circ}-∠ A-∠ D}{2}$
$=\frac{140^{\circ}}{2}$
$=70^{\circ}$
(2)$\because BE// AD$
$\therefore∠ BEC=∠ D = 80^{\circ}$
$∠ ABE = 180^{\circ}-∠ A = 40^{\circ}$
又$\because BE$平分$∠ ABC$
$\therefore∠ EBC=∠ ABE = 40^{\circ}$
$\therefore∠ C = 180^{\circ}-∠ EBC-∠ BEC$
$=180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}$
$=60^{\circ}$

小东在学习中遇到这样一个问题：如图 1，$△ ABC$ 中，$CE$ 平分 $∠ ACB$，$BE$ 平分外角 $∠ ABD$. 猜想 $∠ E$ 与 $∠ A$ 的数量关系.
(1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 $∠ A$ 的值，求 $∠ E$ 的值，
① 如果 $∠ A=50^{\circ}$，则 $∠ E$ 的度数为；如果 $∠ A=130^{\circ}$，则 $∠ E$ 的度数为.
② 请猜想 $∠ A$ 与 $∠ E$ 的数量关系，并说明理由.
(2)小东继续探究，如图 2，在四边形 $ABCD$ 中，$CF$ 平分 $∠ BCD$，且与四边形 $ABCD$ 的外角 $∠ ABE$ 的平分线 $BF$ 交于点 $F$. 若 $∠ A=80^{\circ}$，$∠ D=130^{\circ}$，则 $∠ F$ 的度数为.
(3)小东又思考，改变 $∠ BAD$，$∠ D$ 的大小，如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，四边形的内角 $∠ BCD$ 的角平分线所在的直线与外角 $∠ ABE$ 的角平分线所在的直线相交于 $F$ 点，若 $∠ BAD=α$，$∠ D=β$，则 $∠ F$ 可表示为.(请用含 $α$，$β$ 的表达式表示)

1. (1)①$25^{\circ}$ $65^{\circ}$
②$∠ A = 2∠ E$，理由如下：
$\because∠ ABD$是$△ ABC$的外角，
$\therefore∠ ABD=∠ A+∠ ACB$，
$\therefore∠ ABD-∠ ACB=∠ A$，
$\because BE$平分$∠ ABD$，$CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore∠ ACE=∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
$∠ ABE=∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$，
$\therefore∠ E=∠ EBD-∠ ECB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABD-∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ A$，
$\therefore∠ A = 2∠ E$；
(2)$15^{\circ}$
解析：$\because∠ ABC+∠ BCD-∠ D-∠ A = 360^{\circ}$，
$∠ A = 80^{\circ}$，$∠ D = 130^{\circ}$，
$\therefore∠ ABC+∠ BCD = 360^{\circ}-80^{\circ}-130^{\circ}=150^{\circ}$，
$\because∠ EBF$是$△ BCF$的外角，
$\therefore∠ EBF=∠ F+∠ BCF$，
$\therefore∠ F=∠ EBF-∠ BCF$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$CF$平分$∠ DCB$，
$\therefore∠ DCF=∠ FCB=\frac{1}{2}∠ DCB$，$∠ ABF$
$=∠ EBF=\frac{1}{2}∠ ABE$，
$\therefore∠ F=∠ EBF-∠ BCF$
$=\frac{1}{2}∠ ABE-\frac{1}{2}∠ DCB$
$=\frac{1}{2}(∠ ABE-∠ DCB)$
$=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ ABC-∠ DCB)$
$=90^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB)$
$=90^{\circ}-\frac{1}{2}×150^{\circ}$
$=15^{\circ}$，
$\therefore∠ F = 15^{\circ}$；
(3)$90^{\circ}-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$
解析：如图，延长$BC$到$G$，延长$AB$，$DC$交于点$H$，

$\therefore∠ BCD=∠ HCG$，$∠ ABE=∠ HBG$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$CF$平分$∠ DCB$，
$\therefore BF$平分$∠$，$CF$平分$∠ HCG$，
由(1)得，$∠ BHC = 2∠ F$，
在$△ HAD$中，$∠ BAD=α$，$∠ D=β$，
$\therefore∠ AHD = 180^{\circ}-(∠ BAD+∠ D)$
$=180^{\circ}-(α+β)$，
$\therefore∠ F=\frac{1}{2}∠ AHD$
$=\frac{1}{2}[180^{\circ}-(α+β)]=90^{\circ}-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$