登录
10. 根据下列要求画图。
如图，三条直线 $ a $，$ b $，$ c $ 两两相交，点 $ P $ 在三条直线围成的三角形外，过点 $ P $ 画 $ l_1 // a $ 交直线 $ b $ 于点 $ Q $，过点 $ Q $ 画直线 $ l_2 // c $ 交直线 $ a $ 于点 $ M $。
如图，三条直线 $ a $，$ b $，$ c $ 两两相交，点 $ P $ 在三条直线围成的三角形外，过点 $ P $ 画 $ l_1 // a $ 交直线 $ b $ 于点 $ Q $，过点 $ Q $ 画直线 $ l_2 // c $ 交直线 $ a $ 于点 $ M $。
答案
10.解:所画的图形如下。
解析
【分析】
解题思路：首先明确题目中的两个画图要求，一是过点$ P $作直线$ l_1 // a $，且$ l_1 $与直线$ b $交于点$ Q $；二是过点$ Q $作直线$ l_2 // c $，且$ l_2 $与直线$ a $交于点$ M $。我们可以利用“一落、二靠、三移、四画”的平行线画法，借助三角板和直尺来完成：先通过平移三角板，画出过$ P $且平行于$ a $的直线$ l_1 $，确定交点$ Q $；再用同样的方法，画出过$ Q $且平行于$ c $的直线$ l_2 $，确定交点$ M $。
【解析】
1. 画直线$ l_1 $：
将三角板的一条边与直线$ a $重合，直尺紧贴三角板的另一条边；
平移三角板，使与直线$ a $重合的边经过点$ P $；
沿这条边画出直线$ l_1 $，直线$ l_1 $与直线$ b $的交点即为点$ Q $。
2. 画直线$ l_2 $：
将三角板的一条边与直线$ c $重合，直尺紧贴三角板的另一条边；
平移三角板，使与直线$ c $重合的边经过点$ Q $；
沿这条边画出直线$ l_2 $，直线$ l_2 $与直线$ a $的交点即为点$ M $。
最终画出的图形如参考答案所示。
【答案】
画出符合要求的图形（具体图形见参考答案）
【知识点】
平行线的画法；过直线外一点作已知直线的平行线
【点评】
本题考查平行线的画法，需要熟练掌握利用三角板和直尺画平行线的方法，画图时要保证直线的平行性，准确找到交点位置，注重动手操作能力的培养。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确题目中的两个画图要求，一是过点$ P $作直线$ l_1 // a $，且$ l_1 $与直线$ b $交于点$ Q $；二是过点$ Q $作直线$ l_2 // c $，且$ l_2 $与直线$ a $交于点$ M $。我们可以利用“一落、二靠、三移、四画”的平行线画法，借助三角板和直尺来完成：先通过平移三角板，画出过$ P $且平行于$ a $的直线$ l_1 $，确定交点$ Q $；再用同样的方法，画出过$ Q $且平行于$ c $的直线$ l_2 $，确定交点$ M $。
【解析】
1. 画直线$ l_1 $：
将三角板的一条边与直线$ a $重合，直尺紧贴三角板的另一条边；
平移三角板，使与直线$ a $重合的边经过点$ P $；
沿这条边画出直线$ l_1 $，直线$ l_1 $与直线$ b $的交点即为点$ Q $。
2. 画直线$ l_2 $：
将三角板的一条边与直线$ c $重合，直尺紧贴三角板的另一条边；
平移三角板，使与直线$ c $重合的边经过点$ Q $；
沿这条边画出直线$ l_2 $，直线$ l_2 $与直线$ a $的交点即为点$ M $。
最终画出的图形如参考答案所示。
【答案】
画出符合要求的图形（具体图形见参考答案）
【知识点】
平行线的画法；过直线外一点作已知直线的平行线
【点评】
本题考查平行线的画法，需要熟练掌握利用三角板和直尺画平行线的方法，画图时要保证直线的平行性，准确找到交点位置，注重动手操作能力的培养。
【难度系数】
0.8
11. 若 $ P $，$ Q $ 是直线 $ AB $ 外不重合的两点，则下列说法不正确的是(
A.直线 $ PQ $ 可能与直线 $ AB $ 垂直
B.直线 $ PQ $ 可能与直线 $ AB $ 平行
C.过点 $ P $ 的直线一定与直线 $ AB $ 相交
D.过点 $ Q $ 只能画出一条直线与直线 $ AB $ 平行
C
)A.直线 $ PQ $ 可能与直线 $ AB $ 垂直
B.直线 $ PQ $ 可能与直线 $ AB $ 平行
C.过点 $ P $ 的直线一定与直线 $ AB $ 相交
D.过点 $ Q $ 只能画出一条直线与直线 $ AB $ 平行
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合空间中直线的位置关系和平行公理来逐一分析每个选项：
1. 对于选项A，空间中直线的垂直包括相交垂直和异面垂直，所以直线PQ有可能与直线AB异面垂直，该说法合理；
2. 对于选项B，根据平行公理，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，若PQ恰好是这条直线，则PQ与AB平行，该情况存在；
3. 对于选项C，过点P可以作一条直线与AB平行，这条直线与AB不会相交，因此“过点P的直线一定与AB相交”的说法不成立；
4. 对于选项D，平行公理明确指出过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过点Q只能画出一条直线与AB平行，该说法正确。
综上，不正确的说法是选项C。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：在空间中，直线与直线的垂直分为相交垂直和异面垂直，因此直线$PQ$可能与直线$AB$异面垂直，该说法正确；
选项B：根据平行公理，过直线$AB$外一点可作一条直线与$AB$平行，若直线$PQ$为这条直线，则$PQ// AB$，该说法正确；
选项C：过点$P$能作一条直线与直线$AB$平行，这条直线与$AB$不相交，所以“过点$P$的直线一定与直线$AB$相交”的说法错误；
选项D：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此过点$Q$只能画出一条直线与$AB$平行，该说法正确。
因此，不正确的选项是C。
【答案】
C
【知识点】
空间直线位置关系、平行公理
【点评】
本题考查空间中直线的位置关系及平行公理的应用，解题时需突破平面几何的思维局限，考虑空间中直线的异面情况，准确理解平行公理的内容是解题关键。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合空间中直线的位置关系和平行公理来逐一分析每个选项：
1. 对于选项A，空间中直线的垂直包括相交垂直和异面垂直，所以直线PQ有可能与直线AB异面垂直，该说法合理；
2. 对于选项B，根据平行公理，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，若PQ恰好是这条直线，则PQ与AB平行，该情况存在；
3. 对于选项C，过点P可以作一条直线与AB平行，这条直线与AB不会相交，因此“过点P的直线一定与AB相交”的说法不成立；
4. 对于选项D，平行公理明确指出过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过点Q只能画出一条直线与AB平行，该说法正确。
综上，不正确的说法是选项C。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：在空间中，直线与直线的垂直分为相交垂直和异面垂直，因此直线$PQ$可能与直线$AB$异面垂直，该说法正确；
选项B：根据平行公理，过直线$AB$外一点可作一条直线与$AB$平行，若直线$PQ$为这条直线，则$PQ// AB$，该说法正确；
选项C：过点$P$能作一条直线与直线$AB$平行，这条直线与$AB$不相交，所以“过点$P$的直线一定与直线$AB$相交”的说法错误；
选项D：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此过点$Q$只能画出一条直线与$AB$平行，该说法正确。
因此，不正确的选项是C。
【答案】
C
【知识点】
空间直线位置关系、平行公理
【点评】
本题考查空间中直线的位置关系及平行公理的应用，解题时需突破平面几何的思维局限，考虑空间中直线的异面情况，准确理解平行公理的内容是解题关键。
【难度系数】
0.6
12. 读下面的语句，并画图形。
（1）$ P $ 是直线 $ AB $ 外的一点，直线 $ CD $ 经过点 $ P $，且与直线 $ AB $ 平行；直线 $ EF $ 经过点 $ P $，且与 $ AB $ 垂直，垂足为点 $ G $。
（2）直线 $ AB $，$ CD $ 是相交直线，$ P $ 是直线 $ AB $，$ CD $ 外的一点，直线 $ EF $ 经过点 $ P $，且与直线 $ AB $ 平行，与直线 $ CD $ 相交于点 $ E $。
（1）$ P $ 是直线 $ AB $ 外的一点，直线 $ CD $ 经过点 $ P $，且与直线 $ AB $ 平行；直线 $ EF $ 经过点 $ P $，且与 $ AB $ 垂直，垂足为点 $ G $。
（2）直线 $ AB $，$ CD $ 是相交直线，$ P $ 是直线 $ AB $，$ CD $ 外的一点，直线 $ EF $ 经过点 $ P $，且与直线 $ AB $ 平行，与直线 $ CD $ 相交于点 $ E $。
答案
12.解:(1)如图1所示。
(2)如图2所示。
解析
【分析】
对于这道画图题，我们可以分模块按步骤思考：
1. 处理第(1)问：首先画出基础直线AB，在AB外确定点P的位置；接着根据平行线的作图方法，过点P作直线CD与AB平行；再依据垂线的作图规则，过点P作直线EF垂直于AB，标记出垂足G。
2. 处理第(2)问：先画出相交的直线AB和CD，在两条直线外确定点P；然后过点P作直线EF与AB平行，延长EF使其与CD相交，标记出交点E。
整个过程需严格遵循题目描述的位置关系，确保图形准确符合要求。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 绘制一条直线，标注为AB；
② 在直线AB外选取任意一点，标注为P；
③ 借助直尺和三角板，运用“一放、二靠、三移、四画”的平行线画法，过点P作直线CD，使CD//AB；
④ 同样借助直尺和三角板，按垂线画法，过点P作直线EF⊥AB，将垂足标注为G，完成图形绘制。
(2) 画图步骤：
① 绘制两条相交直线，分别标注为AB和CD，标记出它们的交点；
② 在直线AB、CD外选取任意一点，标注为P；
③ 过点P作直线EF，使EF//AB，延长EF，使其与直线CD相交，标记出交点E，完成图形绘制。
【答案】
(1) 如图1所示。
(2) 如图2所示。
【知识点】
平行线的画法、垂线的画法、相交线的概念
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，主要考查对平行线、垂线画法的掌握，以及对几何图形位置关系的理解，通过作图能有效培养空间观念和规范作图的习惯。
【难度系数】
0.8
对于这道画图题，我们可以分模块按步骤思考：
1. 处理第(1)问：首先画出基础直线AB，在AB外确定点P的位置；接着根据平行线的作图方法，过点P作直线CD与AB平行；再依据垂线的作图规则，过点P作直线EF垂直于AB，标记出垂足G。
2. 处理第(2)问：先画出相交的直线AB和CD，在两条直线外确定点P；然后过点P作直线EF与AB平行，延长EF使其与CD相交，标记出交点E。
整个过程需严格遵循题目描述的位置关系，确保图形准确符合要求。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 绘制一条直线，标注为AB；
② 在直线AB外选取任意一点，标注为P；
③ 借助直尺和三角板，运用“一放、二靠、三移、四画”的平行线画法，过点P作直线CD，使CD//AB；
④ 同样借助直尺和三角板，按垂线画法，过点P作直线EF⊥AB，将垂足标注为G，完成图形绘制。
(2) 画图步骤：
① 绘制两条相交直线，分别标注为AB和CD，标记出它们的交点；
② 在直线AB、CD外选取任意一点，标注为P；
③ 过点P作直线EF，使EF//AB，延长EF，使其与直线CD相交，标记出交点E，完成图形绘制。
【答案】
(1) 如图1所示。
(2) 如图2所示。
【知识点】
平行线的画法、垂线的画法、相交线的概念
【点评】
本题是几何入门的基础作图题，主要考查对平行线、垂线画法的掌握，以及对几何图形位置关系的理解，通过作图能有效培养空间观念和规范作图的习惯。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$ A $，$ B $，$ C $ 表示的是三棵树，藏宝的地点与这三棵树构成一个平行四边形，找出所有可能是藏宝地点的位置。
答案
13.解:如图所示，分三种情况讨论。
即 $ D_1 $，$ D_2 $，$ D_3 $ 都可能是藏宝地点。
解析
【分析】
要找出所有可能的藏宝地点，需依据平行四边形的定义（两组对边分别平行且相等的四边形），通过分类讨论的思路，将三棵树的组合分别作为平行四边形的邻边来构造图形：
1. 考虑以AB和AC为邻边构造平行四边形；
2. 考虑以AB和BC为邻边构造平行四边形；
3. 考虑以AC和BC为邻边构造平行四边形。
通过这三种情况，可全面找出所有符合条件的藏宝地点，避免遗漏。
【解析】
分三种情况构造平行四边形：
1. 以AB、AC为邻边，作平行四边形$ABD_1C$，得到点$D_1$；
2. 以BA、BC为邻边，作平行四边形$BAD_2C$，得到点$D_2$；
3. 以CA、CB为邻边，作平行四边形$CAD_3B$，得到点$D_3$。
这三个点均满足与A、B、C构成平行四边形。
【答案】
$D_1$，$D_2$，$D_3$都可能是藏宝地点
【知识点】
平行四边形的构造、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查平行四边形的定义与构造，重点在于运用分类讨论思想全面考虑所有可能的情况，避免漏解，能有效培养学生的空间想象能力和严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
要找出所有可能的藏宝地点，需依据平行四边形的定义（两组对边分别平行且相等的四边形），通过分类讨论的思路，将三棵树的组合分别作为平行四边形的邻边来构造图形：
1. 考虑以AB和AC为邻边构造平行四边形；
2. 考虑以AB和BC为邻边构造平行四边形；
3. 考虑以AC和BC为邻边构造平行四边形。
通过这三种情况，可全面找出所有符合条件的藏宝地点，避免遗漏。
【解析】
分三种情况构造平行四边形：
1. 以AB、AC为邻边，作平行四边形$ABD_1C$，得到点$D_1$；
2. 以BA、BC为邻边，作平行四边形$BAD_2C$，得到点$D_2$；
3. 以CA、CB为邻边，作平行四边形$CAD_3B$，得到点$D_3$。
这三个点均满足与A、B、C构成平行四边形。
【答案】
$D_1$，$D_2$，$D_3$都可能是藏宝地点
【知识点】
平行四边形的构造、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查平行四边形的定义与构造，重点在于运用分类讨论思想全面考虑所有可能的情况，避免漏解，能有效培养学生的空间想象能力和严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
