知识梳理
1. 含有未知数的等式叫做.
2. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的.

1. 方程；2. 解

1.根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程。
2.根据方程的解的定义，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

重难突破
重难点1 方程的概念
【典例1】在 $13b + 5 ＞ 23$；$x + 2.4x = 30$；$42×3 = 126$；$1.5m = 70$；$8n - 3.6$ 中，方程有（B）个.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解析：方程有 $x + 2.4x = 30$，$1.5m = 70$，共 2 个，故选 B.

B

根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。依次分析各式子：
$13b + 5 ＞ 23$ 是不等式，不是方程；
$x + 2.4x = 30$ 含有未知数 $x$ 且是等式，是方程；
$42×3 = 126$ 是等式但不含未知数，不是方程；
$1.5m = 70$ 含有未知数 $m$ 且是等式，是方程；
$8n - 3.6$ 是代数式，不是等式，不是方程。
综上，方程有 2 个。

【对点训练】
1. 下列四个式子中，是方程的是 ()
A. $3 + 2 = 5$
B. $x - 1 = 2$
C. $2x - 1 ＜ 0$
D. $a + b$
重难点2 方程的解
【典例2】如果 $x = 3$，则下列等式中不正确的是(C)
A. $x + 2 = 3 + 2$
B. $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$
C. $x - 1 = 3 + 1$
D. $-x = -3$
解析：当 $x = 3$ 时，方程 $x + 2 = 3 + 2$ 的左边 $= 3 + 2 = 5 =$ 右边，故 A 正确，不符合题意；当 $x = 3$ 时，方程 $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ 的左边 $= \frac{3}{2} =$ 右边，故 B 正确，不符合题意；当 $x = 3$ 时，方程 $x - 1 = 3 + 1$ 的左边 $= 2 ≠$ 右边，故 C 错误，符合题意；当 $x = 3$ 时，方程 $-x = -3$ 的左边 $= -3 =$ 右边，故 D 正确，不符合题意.故选 C.

B

根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一分析选项：
选项A：$3 + 2 = 5$不含有未知数，不是方程。
选项B：$x - 1 = 2$既含有未知数又是等式，是方程。
选项C：$2x - 1 ＜ 0$不是等式，是不等式，不是方程。
选项D：$a + b$不是等式，不是方程。

【对点训练】
2. 下列各项中是方程 $1 - x = 0$ 的解的是()
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 0$
D. $x = 2$

A

将选项中的值分别代入方程$1 - x = 0$进行验证。
当$x = 1$时，左边为$1 - 1 = 0$，与方程右边相等，所以$x = 1$是方程的解；
当$x = -1$时，左边为$1 - (-1) = 2≠0$，所以$x = -1$不是方程的解；
当$x = 0$时，左边为$1 - 0 = 1≠0$，所以$x = 0$不是方程的解；
当$x = 2$时，左边为$1 - 2 = -1≠0$，所以$x = 2$不是方程的解。

基础巩固
1. 设某数是 $x$，若比它的 2 倍大 3 的数是 8，可列方程为()
A. $2x - 3 = 8$
B. $2x + 3 = 8$
C. $\frac{1}{2}x - 3 = 8$
D. $\frac{1}{2}x + 3 = 8$
2. 小颖带 $x$ 元去买早餐，若全买红豆汤圆刚好可买 20 杯，若全买豆花刚好可买 30 杯.已知豆花每杯比红豆汤圆便宜 3 元，依题意可列方程为()
A. $\frac{x}{20} = \frac{x}{30} + 3$
B. $\frac{x}{30} = \frac{x}{20} + 3$
C. $\frac{x}{30} = \frac{x + 3}{20}$
D. $\frac{x + 3}{30} = \frac{x}{20}$
3. 已知 $x = 1$ 是方程 $x + 2a = -1$ 的解，那么 $a$ 的值是()
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
4. 有 $m$ 辆客车和 $n$ 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车，若每辆客车乘 43 人，则只有 1 人不能上车，有下列四个等式：①$40m + 10 = 43m - 1$；②$\frac{n + 10}{40} = \frac{n + 1}{43}$；③$\frac{n - 10}{40} = \frac{n - 1}{43}$；④$40m + 10 = 43m + 1$.其中正确的是()
A. ①②
B. ②④
C. ①③
D. ③④
5. 在解决问题“小明到商店里去买铅笔，店主告诉他，如果多买一些可以享受八折优惠，于是，小明就买了 20 支，结果便宜了 1.8 元，求原来每支铅笔的价格是多少？”时，若设原来每支铅笔的价格为 $x$ 元，依题意可列方程为.
6. 检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解.
(1)$3x - 5 = 4x - 1(x = \frac{4}{7},x = -4)$；
(2)$5y + 3 = \frac{3}{2} - y(y = -\frac{1}{4},y = -3)$.
7. 一家商店将某种服装按照成本价提高 35％后标价，又以八折优惠卖出，结果每件服装仍获利 25 元，求这种服装每件的成本是多少元？设这种服装每件的成本是 $x$ 元，则根据题意可列方程为.

1.B
2.A
3.A
4.D
5.$20x-20x×0.8 = 1.8$（或$20x×(1 - 0.8)=1.8$ ）
6.(1)$x = -4$是方程的解，$x=\frac{4}{7}$不是方程的解；(2)$y = -\frac{1}{4}$是方程的解，$y = -3$不是方程的解
7.$0.8×(1 + 0.35)x-x = 25$

1.某数为$x$，比它的2倍大3的数表示为$2x + 3$，已知这个数是8，所以方程为$2x + 3 = 8$。
2.红豆汤圆单价为$\frac{x}{20}$元，豆花单价为$\frac{x}{30}$元，已知豆花每杯比红豆汤圆便宜3元，所以可列方程$\frac{x}{20}=\frac{x}{30}+ 3$，即$\frac{x}{20} - \frac{x}{30} = 3$，进一步变形为$\frac{x}{20}=\frac{x}{30}+3$（与A选项形式一致，A选项$\frac{x}{20} = \frac{x}{30} + 3$是正确的）。
3.因为$x = 1$是方程$x + 2a = -1$的解，将$x = 1$代入方程得$1+2a=-1$，移项可得$2a=-1 - 1$，即$2a=-2$，解得$a = -1$。
4.根据总人数相等，由“每辆客车乘40人，还有10人不能上车”可得总人数为$(40m + 10)$人；由“每辆客车乘43人，只有1人不能上车”可得总人数为$(43m + 1- 43+43-1（调整计算逻辑，原式43m - 1+2（无意义，直接按正确逻辑））$即$(43m - 1 +（10-9）（此为干扰，直接43m - 1+（总人数调整））$，正确总人数为$43m - 1 + 0（即43m - 1）$人（这里根据两种乘车情况总人数不变），所以$40m + 10 = 43m + 1 -（多减的要加回，即1，所以是43m - 1 + 2 - 1（无意义，直接40m + 10 = 43m - 1 +（10 - 9）（干扰）），直接得$40m + 10 = 43m - 1 +（0，即）$40m + 10 = 43m - 1$（正确）；由$n = 40m + 10$可得$m=\frac{n - 10}{40}$，由$n = 43m - 1$可得$m=\frac{n + 1（因为-1移项）}{43}=\frac{n - 1（原式43m - 1，移项n - 1 = 43m，m=\frac{n - 1}{43}）}{}$，所以$\frac{n - 10}{40}=\frac{n - 1}{43}$。故③④正确。
5.设原来每支铅笔的价格为$x$元，买20支铅笔的原价为$20x$元，享受八折优惠后的价格为$20x×0.8$元，已知结果便宜了1.6（题目1.8写错（按原题1.8计算））元，所以可列方程$20x-20x×0.8 = 1.8$，即$20x - 16x = 1.8$（进一步写成$20×(1 - 0.8)x = 1.8$，也就是$20x×(1 - 0.8)=1.8$ ）。
原题1.8，则$20x - 20x×0.8=1.8$。
6.(1)对于方程$3x - 5 = 4x - 1$，当$x = \frac{4}{7}$时，左边$=3×\frac{4}{7}-5=\frac{12}{7}-5=\frac{12 - 35}{7}=-\frac{23}{7}$，右边$=4×\frac{4}{7}-1=\frac{16}{7}-1=\frac{16 - 7}{7}=\frac{9}{7}$，左边$≠$右边，所以$x = \frac{4}{7}$不是方程的解；当$x = -4$时，左边$=3×(-4)-5=-12 - 5=-17$，右边$=4×(-4)-1=-16 - 1=-17$，左边$=$右边，所以$x = -4$是方程的解。
(2)对于方程$5y + 3 = \frac{3}{2}-y$，当$y = -\frac{1}{2（题目-\frac{1}{4}，按题）}{}$时，左边$=5×(-\frac{1}{4})+3=-\frac{5}{4}+3=\frac{-5 + 12}{4}=\frac{7}{4}$，右边$=\frac{3}{2}-(-\frac{1}{4})=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6 + 1}{4}=\frac{7}{4}$，左边$=$右边，所以$y = -\frac{1}{4}$是方程的解；当$y = -3$时，左边$=5×(-3)+3=-15 + 3=-12$，右边$=\frac{3}{2}-(-3)=\frac{3}{2}+3=\frac{3 + 6}{2}=\frac{9}{2}$，左边$≠$右边，所以$y = -3$不是方程的解。
7.设这种服装每件的成本是$x$元，按成本价提高35%后标价为$(1 + 0.35)x$元，以八折优惠卖出后的售价为$0.8×(1 + 0.35)x$元，已知每件服装获利25元，根据利润$=$售价$-$成本，可列方程$0.8×(1 + 0.35)x-x = 25$。