重难点1 三元一次方程(组)的定义
【典例1】下列是三元一次方程组的是（A）
A. $\begin{cases}x + y + z = 7\\2x + 3y = 5\\y + 2x = 2\end{cases}$
B. $\begin{cases}xy = 3\\y + z = 2\\x + z = 6\end{cases}$
C. $\begin{cases}\dfrac{1}{x} + y + z = 7\\2x + y + 3z = 5\\x + 2y + z = 2\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y = 5\\3x + 2y = 9\end{cases}$
解析：由题意知，含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是$1$次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组. A. 满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；B. $xy = 3$，含未知数的项的次数为$2$次，所以不是三元一次方程，故B选项错误；C. 不是整式方程，故C选项错误；D. 含有两个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选A.

A

根据三元一次方程组的定义，需满足三个条件：①含有三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③共有三个方程（可以更多，但至少三个）。
A. 满足所有条件，三个未知数$x,y,z$，每个方程次数为1，共有三个方程；
B. 方程$xy=3$次数为2，不满足；
C. 方程$\frac{1}{x}+y+z=7$不是整式方程，不满足；
D. 仅含两个未知数$x,y$，不满足；
故A选项正确。

【对点训练】
1. 下列方程中，三元一次方程共有()
(1)$x + y + z = 3$；(2)$xyz = 3$；
(3)$\dfrac{x + y + z}{3} = 1$；(4)$\dfrac{3}{x + y + z} = 1$.
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

B

三元一次方程需满足的条件：①是整式方程，②方程中含有三个未知数，③含未知数的项的次数都是1。
(1)$x + y + z = 3$，是整式方程，含三个未知数，含未知数的项的次数都是1，是三元一次方程。
(2)$xyz = 3$，是整式方程，含三个未知数，但$xyz$这一项的次数是3，不是三元一次方程。
(3)$\frac{x + y + z}{3} = 1$，可化为$x + y + z = 3$，是整式方程，含三个未知数，含未知数的项的次数都是1，是三元一次方程。
(4)$\frac{3}{x + y + z} = 1$，该方程的分母中含有未知数，不是整式方程，不是三元一次方程。
所以三元一次方程共有2个。

重难点2 三元一次方程组的解法
【典例2】解方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x + 3y - z = 12,②\\x + y - 2z = 3.③\end{cases}$
以下解法不正确的是（D）
A. 由①，②消去$z$，再由①，③消去$z$
B. 由①，③消去$z$，再由②，③消去$z$
C. 由①，③消去$y$，再由①，②消去$y$
D. 由①，②消去$z$，再由①，③消去$y$
解析：解方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x + 3y - z = 12,②\\x + y - 2z = 3.③\end{cases}$
以下解法不正确的是由①，②消去$z$，再由①，③消去$y$. 故选D.

D

对于选项D，由①+②得$5x+2y=16$④，
若由①，③消去$y$，此时$z$并没有消去，不符合消元的思想，
无法与④构成二元方程组继续求解，所以该解法不正确。
而A、B、C选项的消元方法都符合三元一次方程组的消元解法。