例 1 (2024·南京)已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 经过点 $ (1, 2) $，且它的顶点 $ (m, n) $ 在抛物线 $ y = x^2 $ 上。
(1)当 $ n $ 取最小值时，$ a $ 的值为；
(2)用含 $ m $ 的式子表示 $ a $；
(3)若点 $ (-2, y_1) $，$ (-1, y_2) $，$ (2, y_3) $ 在抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 上，且 $ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $，求 $ m $ 的取值范围。
分析 (1)当 $ n $ 取最小值时，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标为 $ (0, 0) $，从而 $ y = ax^2 $，由抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ (1, 2) $，可以求出 $ a $ 的值；
(2)由顶点坐标为 $ (m, m^2) $，可设 $ y = a(x - m)^2 + m^2 $，再由抛物线经过点 $ (1, 2) $，得出 $ a $ 与 $ m $ 的关系式；
(3)由 $ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $ 得出 $ a, b $ 的符号，从而判断出对称轴的位置，再结合(2)中 $ a $ 与 $ m $ 的关系式，判断出 $ m $ 的取值范围。

(1) 2
(2) 因为抛物线顶点为$(m, m^2)$，设解析式为$y = a(x - m)^2 + m^2$，将$(1, 2)$代入得：$2 = a(1 - m)^2 + m^2$，整理得$a(1 - m)^2 = 2 - m^2$，所以$a = \frac{2 - m^2}{(m - 1)^2}(m ≠ 1)$
(3) 由题意得$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$，其中$y_1 = a(m + 2)^2 + m^2$，$y_2 = a(m + 1)^2 + m^2$，$y_3 = a(2 - m)^2 + m^2$。
$y_2 - y_1 = a[(m + 1)^2 - (m + 2)^2] = a(-2m - 3) ＜ 0$，即$a(2m + 3) ＞ 0$；
$y_1 - y_3 = a[(m + 2)^2 - (2 - m)^2] = 8am ＜ 0$，即$am ＜ 0$。
因为$a = \frac{2 - m^2}{(m - 1)^2}$，$(m - 1)^2 ＞ 0$，所以$a$与$2 - m^2$同号。
当$a ＞ 0$时，$2 - m^2 ＞ 0$即$-\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{2}(m ≠ 1)$，由$am ＜ 0$得$m ＜ 0$，结合$a(2m + 3) ＞ 0$得$2m + 3 ＞ 0$即$m ＞ -\frac{3}{2}$，故$-\frac{3}{2} ＜ m ＜ 0$；
当$a ＜ 0$时，$2 - m^2 ＜ 0$即$m ＜ -\sqrt{2}$或$m ＞ \sqrt{2}$，由$am ＜ 0$得$m ＞ 0$，此时$2m + 3 ＞ 0$与$a(2m + 3) ＞ 0$矛盾，无解。
综上，$m$的取值范围是$-\frac{3}{2} ＜ m ＜ 0$
(1) 2
(2) $a = \frac{2 - m^2}{(m - 1)^2}(m ≠ 1)$
(3) $-\frac{3}{2} ＜ m ＜ 0$