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【变式 1】如图，图中哪些线段互相平行？把它们表示出来。
答案
$a // d$，$b // f$，$c // e$
解析
根据平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。通过观察图形中各线段的走向和位置关系可得：
线段 $a$ 与线段 $d$ 方向相同，不相交；线段 $b$ 与线段 $f$ 方向相同，不相交；线段 $c$ 与线段 $e$ 方向相同，不相交。
故互相平行的线段为：$a // d$，$b // f$，$c // e$。
线段 $a$ 与线段 $d$ 方向相同，不相交；线段 $b$ 与线段 $f$ 方向相同，不相交；线段 $c$ 与线段 $e$ 方向相同，不相交。
故互相平行的线段为：$a // d$，$b // f$，$c // e$。
【变式 2】如图，$P$ 是 $AB$ 上一点，试过点 $P$ 画 $PM // AC$，交 $BC$ 于点 $M$，过点 $P$ 画 $PN // BC$，交 $AC$ 于点 $N$。
答案
解题过程如下：
1. 以点$P$为顶点，作射线$PM// AC$，使$PM$与$BC$交于点$M$。
具体作法：
使用直尺和三角板，将三角板的一边与$AC$重合，另一边经过点$P$，画出平行线$PM$，交$BC$于点$M$。
2. 以点$P$为顶点，作射线$PN// BC$，使$PN$与$AC$交于点$N$。
具体作法：
使用直尺和三角板，将三角板的一边与$BC$重合，另一边经过点$P$，画出平行线$PN$，交$AC$于点$N$。
最终图形中，$PM// AC$且$PN// BC$。
1. 以点$P$为顶点，作射线$PM// AC$，使$PM$与$BC$交于点$M$。
具体作法：
使用直尺和三角板，将三角板的一边与$AC$重合，另一边经过点$P$，画出平行线$PM$，交$BC$于点$M$。
2. 以点$P$为顶点，作射线$PN// BC$，使$PN$与$AC$交于点$N$。
具体作法：
使用直尺和三角板，将三角板的一边与$BC$重合，另一边经过点$P$，画出平行线$PN$，交$AC$于点$N$。
最终图形中，$PM// AC$且$PN// BC$。
【例 3】如图，已知三角形 $ABC$，根据下列要求画图并解答问题。
(1) 过三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 画直线 $MN // BC$；
(2) 过三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点 $D$ 画平行于 $BC$ 的直线，交 $AC$ 于点 $E$；
(3) 直线 $MN$ 与 $DE$ 有什么位置关系？请说明理由。
重点必记
(1) 平行线基本事实的前提条件是“经过直线外一点”，若点在直线上，则不会有平行线；其中“有且只有”强调直线的存在性和唯一性；
(2) 平行线基本事实的推论可以说明与同一条直线平行的两条直线平行，由此可知平行关系具有传递性。
(1) 过三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 画直线 $MN // BC$；
(2) 过三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点 $D$ 画平行于 $BC$ 的直线，交 $AC$ 于点 $E$；
(3) 直线 $MN$ 与 $DE$ 有什么位置关系？请说明理由。
重点必记
(1) 平行线基本事实的前提条件是“经过直线外一点”，若点在直线上，则不会有平行线；其中“有且只有”强调直线的存在性和唯一性；
(2) 平行线基本事实的推论可以说明与同一条直线平行的两条直线平行，由此可知平行关系具有传递性。
答案
(1) 图略（按要求过点A画直线MN//BC）；
(2) 图略（按要求过AB中点D画直线DE//BC交AC于E）；
(3) MN//DE。理由：因为MN//BC，DE//BC，根据平行线基本事实的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以MN//DE。
(2) 图略（按要求过AB中点D画直线DE//BC交AC于E）；
(3) MN//DE。理由：因为MN//BC，DE//BC，根据平行线基本事实的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以MN//DE。
【变式 3】同一平面内有四条直线 $a$，$b$，$c$，$d$，若 $a // b$，$b // c$，$c // d$，则 $a$，$d$ 的位置关系为()。
A.互相垂直
B.互相平行
C.相交
D.没有确定关系
A.互相垂直
B.互相平行
C.相交
D.没有确定关系
答案
B
解析
根据平行公理的推论，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
已知$a// b$，$b// c$，根据上述推论可得$a// c$。
又因为$c// d$，同理可得$a// d$。
已知$a// b$，$b// c$，根据上述推论可得$a// c$。
又因为$c// d$，同理可得$a// d$。
【变式 4】如图，已知 $OM // a$，$ON // a$，则点 $O$，$M$，$N$ 三点共线的理由是。
答案
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
解析
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。因为点O是直线a外一点，OM//a，ON//a，所以OM和ON是同一条直线，即点O，M，N三点共线。
1. 在同一平面内有三条直线，其中一条直线与另外两条平行线中的一条直线相交，则该直线与平行线中另一条直线一定()。
A.平行
B.垂直
C.相交
D.无法判断位置
A.平行
B.垂直
C.相交
D.无法判断位置
答案
C
解析
在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行。已知一条直线与两条平行线中的一条相交，假设该直线与另一条平行线平行，则根据平行公理的推论，这三条直线都平行，与已知条件矛盾，所以该直线与另一条平行线一定相交。
2. 如图，在平面内过点 $O$ 作已知直线 $a$ 的平行线和垂线，可作的条数分别是 $m$ 条和 $n$ 条，则 $m + n$ 的值为()。
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案
D
解析
在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。点O若在直线a外，可作1条平行线；若点O在直线a上，则无法作平行线，此时m=0。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，无论点O在直线a上还是外，都可作1条垂线，n=1。题目未明确点O与直线a的位置关系，m的值不确定，所以m+n无法确定。
3. 写出每组直线的位置关系。
答案
第1组：相交
第2组：垂直
第3组：平行
第4组：相交
第2组：垂直
第3组：平行
第4组：相交
