1. 如果 $ x ＞ y $，那么下列不等式正确的是()

A.$ x + 5 ＜ y + 5 $
B.$ x - 5 ＜ y - 5 $
C.$ 5x ＞ 5y $
D.$ - 5x ＞ - 5y $

C

根据不等式的基本性质：
A选项：由 $x ＞ y$ ，根据不等式加同数不变向性质，$x + 5 ＞ y + 5$，所以A选项错误。
B选项：由 $x ＞ y$，根据不等式减同数不变向性质， $x - 5 ＞ y - 5$，所以B选项错误。
C选项：由 $x ＞ y$，根据不等式乘正数不变向性质， $5x ＞ 5y$，所以C选项正确。
D选项：由 $x ＞ y$，根据不等式乘负数变向性质，$-5x ＜ -5y$，所以D选项错误。

2. 小明解一道一元一次不等式的过程如下。解：$ \lozenge x - 2x ＞ 8 $，$ (\lozenge - 2)x ＞ 8 $，$ □ x ＞ 8 $，$ x☆ - 2 $。其中，“$ \lozenge $”“$ □ $”表示数字，“☆”表示不等号，则“$ \lozenge $”“$ □ $”“☆”分别代表()

A.6，4，$ ＞ $
B.6，4，$ ＜ $
C.$ - 2 $，$ - 4 $，$ ＞ $
D.$ - 2 $，$ - 4 $，$ ＜ $

D

由步骤可知，□=◇-2。若◇=-2，则□=-2-2=-4，不等式为-4x＞8，两边除以-4（负数），不等号变向，得x＜-2，故☆为“＜”。因此“◇”“□”“☆”分别为-2，-4，＜。

3. 小兵的观点：不等式 $ a ＞ 2a $ 不可能成立。理由：若在这个不等式两边同时除以 $ a $，则会出现 $ 1 ＞ 2 $ 的错误结论。小兵的观点，理由。(均填“正确”或“错误”)

错误；错误
理由：当$a ＜ 0$时，不等式$a ＞ 2a$成立。小兵在两边同时除以$a$时，未考虑$a$的正负性，当$a$为负数时，不等号方向应改变，此时可得$1 ＜ 2$，结论正确，故小兵观点错误，理由错误。

4. 若点 $ P(m - 1,m) $ 在第二象限，且 $ (m - 1)x ＞ m - 1 $，则 $ x $ 的取值范围是。

$x ＜ 1$（填写的答案形式需与题目要求一致，本题应填$x ＜ 1$对应的选项）。

由于点$P(m - 1,m)$在第二象限，根据第二象限的坐标特性，即横坐标小于0，纵坐标大于 0，可以得到以下不等式组：
$\begin{cases}m - 1 ＜ 0, \\m ＞ 0.\end{cases}$
解这个不等式组，得到：$0 ＜ m ＜ 1$。
对不等式$(m - 1)x ＞ m - 1$进行处理。
由于已知$m - 1 ＜ 0$，可以将不等式两边同时除以$m - 1$（注意，当除以负数时，不等号的方向会反转），得到：
$x ＜ \frac{m - 1}{m - 1}$，
即：$x ＜ 1$（因为$\frac{m - 1}{m - 1} = 1$，且已知$m - 1 ≠ 0$）。

5. 若实数 $ m $，$ n $，$ p $ 满足 $ 0 ＜ m ＜ n ＜ p ＜ 1 $，且 $ n ≤ 2m $，我们将 $ n - m $，$ p - n $，$ 1 - p $ 这三个数中最小的一个数记为 $ t $，则 $ t $ 的最大值为。

$\frac{1}{4}$

设$a = n - m$，$b = p - n$，$c = 1 - p$，则$t = \min\{a, b, c\}$，且$a + b + c = 1 - m$。要使$t$最大，需$a, b, c$尽可能接近，假设$a = b = c = t$，则$3t = 1 - m$，即$m = 1 - 3t$。由$n = m + a = 1 - 3t + t = 1 - 2t$，且$n ≤ 2m$，得$1 - 2t ≤ 2(1 - 3t)$，解得$t ≤ \frac{1}{4}$。验证：当$t = \frac{1}{4}$时，$m = \frac{1}{4}$，$n = \frac{1}{2}$，$p = \frac{3}{4}$，满足$0 ＜ m ＜ n ＜ p ＜ 1$及$n ≤ 2m$，此时$a = b = c = \frac{1}{4}$，故$t$最大值为$\frac{1}{4}$。

6. （1）若 $ x ＜ y $，且 $ (a - 2)x ＜ (a - 2)y $，求 $ a $ 的取值范围；
（2）已知关于 $ x $ 的不等式 $ (1 - a)x ≥ 2 $ 可化为 $ x ≤ \frac{2}{1 - a} $，试确定 $ a $ 的取值范围。

（1）
已知$x＜y$，且$(a - 2)x ＜ (a - 2)y$，
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
所以$a - 2＞0$，
解得$a＞2$。
（2）
已知关于$x$的不等式$(1 - a)x≥2$可化为$x≤\frac{2}{1 - a}$，
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
所以$1 - a＜0$，
即$a ＞ 1$。

7. 提升题 材料一：对于实数 $ x $，$ y $，定义一种新运算 $ K $，规定：$ K(x,y) = ax + by $（其中 $ a $，$ b $ 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算。例如：$ K(1,2) = a + 2b $，$ K(- 2,3) = - 2a + 3b $。
材料二：已知 $ x $，$ y $ 均为非负数，且满足 $ x + y = 8 $，求 $ 2x + 3y $ 的取值范围。有如下解法：
解：$ \because x + y = 8 $，$ \therefore x = 8 - y $。
$ \because x $，$ y $ 均为非负数，$ \therefore x ≥ 0 $，即 $ 8 - y ≥ 0 $。
$ \therefore 0 ≤ y ≤ 8 $。
易知 $ 2x + 3y = 2(8 - y) + 3y = 16 + y $。
$ \because 16 ≤ 16 + y ≤ 24 $，
$ \therefore 16 ≤ 2x + 3y ≤ 24 $。
（1）若 $ K(1,2) = 7 $，$ K(- 2,3) = 0 $，求 $ a $，$ b $ 的值；
（2）已知 $ x $，$ y $ 均为非负数，$ x + 2y = 10 $，求 $ 4x - y $ 的取值范围。

（1）由题意得：
$\begin{cases}a + 2b = 7 \\-2a + 3b = 0\end{cases}$
由第二个方程得：$2a = 3b$，即$a = \frac{3}{2}b$。
将$a = \frac{3}{2}b$代入第一个方程：$\frac{3}{2}b + 2b = 7$，$\frac{7}{2}b = 7$，解得$b = 2$。
则$a = \frac{3}{2}×2 = 3$。
所以$a = 3$，$b = 2$。
（2）$\because x + 2y = 10$，$\therefore x = 10 - 2y$。
$\because x$，$y$均为非负数，$\therefore x ≥ 0$，即$10 - 2y ≥ 0$，解得$y ≤ 5$。又$y ≥ 0$，$\therefore 0 ≤ y ≤ 5$。
$4x - y = 4(10 - 2y) - y = 40 - 8y - y = 40 - 9y$。
$\because 0 ≤ y ≤ 5$，$\therefore -45 ≤ -9y ≤ 0$，$\therefore 40 - 45 ≤ 40 - 9y ≤ 40 + 0$，即$-5 ≤ 4x - y ≤ 40$。