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1. 不等式 $x^{2}+4＞2x$；$\frac{1}{x}-1＞0$；$2x - 3＞5y$；$x+\frac{1}{π}≥5π$；$4y＞-1$ 中，一元一次不等式有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
$x^{2}+4＞2x$：此不等式含有$x$的二次项，因此不是一元一次不等式。
$\frac{1}{x}-1＞0$：此不等式含有$x$的倒数，不是整次幂，因此不是一元一次不等式。
$2x - 3＞5y$：此不等式含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元一次不等式。
$x+\frac{1}{π}≥5π$：此不等式只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，满足一元一次不等式的定义。
$4y＞-1$：此不等式只含有一个未知数$y$，且$y$的次数为1，也满足一元一次不等式的定义（虽然变量是$y$，但仍然满足一元一次不等式的形式）。
所以，一元一次不等式有2个。
2. 若 $(k + 3)x^{|k| - 2}+5＜-4$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，则 $k=$。
答案
3
解析
根据题意，不等式为一元一次不等式，因此 $x$ 的最高次数必须为 1，且系数不为 0。
1. 由 $|k| - 2 = 1$，得 $|k| = 3$，即 $k = 3$ 或 $k = -3$。
2. 由 $k + 3 ≠ 0$，得 $k ≠ -3$。
综上，$k = 3$。
3. 不等式 $1+\frac{x}{3}≥ x - 1$ 的正整数解为。
答案
$1，2，3$。
解析
首先去分母，不等式两边同时乘以3得：$3+x≥3x-3$，
移项得：$x-3x≥ -3-3$，
合并同类项得：$-2x≥ -6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤ 3$，
所以满足不等式的正整数解为$1$，$2$，$3$。
移项得：$x-3x≥ -3-3$，
合并同类项得：$-2x≥ -6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤ 3$，
所以满足不等式的正整数解为$1$，$2$，$3$。
4. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{4}=\frac{x - 2}{3}$ 的解为负数，则点 $(m,m + 1)$ 在第象限。
答案
三
解析
解方程$\frac{x + m}{4} = \frac{x - 2}{3}$，
方程两边同时乘以$12$去分母得：
$3(x + m) = 4(x - 2)$，
去括号得：
$3x + 3m = 4x - 8$，
移项得：
$3x - 4x = -8 - 3m$，
合并同类项得：
$-x = -8 - 3m$，
系数化为$1$得：
$x = 3m + 8$。
因为方程的解为负数，所以$3m + 8 ＜ 0$，
移项可得：
$3m ＜ - 8$，
解得：
$m ＜ -\frac{8}{3}$。
则$m + 1 ＜ -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{5}{3} ＜ 0$。
因为$m＜ -\frac{8}{3}＜0$，$m + 1＜0$，所以点$(m,m + 1)$在第三象限。
方程两边同时乘以$12$去分母得：
$3(x + m) = 4(x - 2)$，
去括号得：
$3x + 3m = 4x - 8$，
移项得：
$3x - 4x = -8 - 3m$，
合并同类项得：
$-x = -8 - 3m$，
系数化为$1$得：
$x = 3m + 8$。
因为方程的解为负数，所以$3m + 8 ＜ 0$，
移项可得：
$3m ＜ - 8$，
解得：
$m ＜ -\frac{8}{3}$。
则$m + 1 ＜ -\frac{8}{3} + 1 = -\frac{5}{3} ＜ 0$。
因为$m＜ -\frac{8}{3}＜0$，$m + 1＜0$，所以点$(m,m + 1)$在第三象限。
5. 以下是某同学解不等式 $\frac{2x + 1}{3}＞\frac{3x - 5}{2}+2$ 的部分解答过程。
解：去分母，得 $2(2x + 1)＞3(3x - 5)+12$。①
去括号，得 $4x + 2＞9x - 15 + 12$。②
移项，得 $4x + 9x＞-15 + 12 + 2$。③
(1)以上解题过程中，第②步是依据进行变形的，第步开始出现错误；
(2)请你写出正确完整的解答过程。
解：去分母，得 $2(2x + 1)＞3(3x - 5)+12$。①
去括号，得 $4x + 2＞9x - 15 + 12$。②
移项，得 $4x + 9x＞-15 + 12 + 2$。③
(1)以上解题过程中，第②步是依据进行变形的，第步开始出现错误；
(2)请你写出正确完整的解答过程。
答案
(1) 乘法分配律；③
(2) 解：去分母，得$2(2x + 1)＞3(3x - 5) + 12$
去括号，得$4x + 2＞9x - 15 + 12$
移项，得$4x - 9x＞-15 + 12 - 2$
合并同类项，得$-5x＞-5$
系数化为1，得$x＜1$
(2) 解：去分母，得$2(2x + 1)＞3(3x - 5) + 12$
去括号，得$4x + 2＞9x - 15 + 12$
移项，得$4x - 9x＞-15 + 12 - 2$
合并同类项，得$-5x＞-5$
系数化为1，得$x＜1$
6. 解不等式 $\frac{x - 1}{2}＜x + 1$，并把解集在数轴上表示出来。
答案
解：去分母，得 $x - 1 ＜ 2(x + 1)$
去括号，得 $x - 1 ＜ 2x + 2$
移项，得 $x - 2x ＜ 2 + 1$
合并同类项，得 $-x ＜ 3$
系数化为1，得 $x ＞ -3$
数轴表示：
解集为 $x ＞ -3$
7. 定义关于@的一种运算：$a@b=a + 2b$。如 $2@3=2 + 2×3=8$。
（1）若 $3@x＜7$，且 $x$ 为正整数，求 $x$ 的值；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $3(x + 1)≤7 - x$ 的解集和 $x@a≤5$ 的解集相同，求 $a$ 的值。
（1）若 $3@x＜7$，且 $x$ 为正整数，求 $x$ 的值；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $3(x + 1)≤7 - x$ 的解集和 $x@a≤5$ 的解集相同，求 $a$ 的值。
答案
（1）
根据定义$a@b = a + 2b$，则$3@x=3 + 2x$。
因为$3@x＜7$，所以$3 + 2x＜7$，
移项可得$2x＜7 - 3$，
即$2x＜4$，
两边同时除以$2$，解得$x＜2$。
又因为$x$为正整数，所以$x = 1$。
（2）
解不等式$3(x + 1)≤7 - x$：
去括号得$3x+3≤7 - x$，
移项得$3x + x≤7 - 3$，
合并同类项得$4x≤4$，
两边同时除以$4$，解得$x≤1$。
根据定义$x@a=x + 2a$，因为$x@a≤5$，所以$x + 2a≤5$，
移项可得$x≤5 - 2a$。
由于两个不等式解集相同，所以$5 - 2a = 1$，
移项可得$-2a=1 - 5$，
即$-2a=-4$，
两边同时除以$-2$，解得$a = 2$。
综上，答案依次为：（1）$x = 1$；（2）$a = 2$。
根据定义$a@b = a + 2b$，则$3@x=3 + 2x$。
因为$3@x＜7$，所以$3 + 2x＜7$，
移项可得$2x＜7 - 3$，
即$2x＜4$，
两边同时除以$2$，解得$x＜2$。
又因为$x$为正整数，所以$x = 1$。
（2）
解不等式$3(x + 1)≤7 - x$：
去括号得$3x+3≤7 - x$，
移项得$3x + x≤7 - 3$，
合并同类项得$4x≤4$，
两边同时除以$4$，解得$x≤1$。
根据定义$x@a=x + 2a$，因为$x@a≤5$，所以$x + 2a≤5$，
移项可得$x≤5 - 2a$。
由于两个不等式解集相同，所以$5 - 2a = 1$，
移项可得$-2a=1 - 5$，
即$-2a=-4$，
两边同时除以$-2$，解得$a = 2$。
综上，答案依次为：（1）$x = 1$；（2）$a = 2$。
