11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $、$ B $ 的坐标分别为 $ ( 3, 3 ) $、$ ( 6, 0 ) $，动直线 $ l ⊥ O B $，垂足为 $ P $，直线 $ l $ 从点 $ O $ 开始沿 $ x $ 轴向右平移，到点 $ B $ 时停止运动. 设动直线 $ l $ 在 $ \triangle A B O $ 内扫过的阴影部分的面积为 $ S $，$ O P $ 长为 $ x $，求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
答案
解：∵A(3，3)，B(6，0)
∴$OA=AB=\sqrt {3^2+3^2}=3\sqrt 2$
则有$OA^2+AB^2=OB^2$
∴△AOB为一个等腰直角三角形
当0≤x≤3时，阴影部分为一个小的等腰直角三角形
$S=\frac 12 · x · x=\frac 12x^2$
当3＜x≤6时，阴影部分为一个四边形，
面积等于$S_{△AOB}$减去一个小的等腰直角三角形
BP=OB-OP=6-x
∴$S=\frac 12×3×6-\frac 12 · (6-x) · (6-x)=9-\frac 12(6-x)^2$
∴$OA=AB=\sqrt {3^2+3^2}=3\sqrt 2$
则有$OA^2+AB^2=OB^2$
∴△AOB为一个等腰直角三角形
当0≤x≤3时，阴影部分为一个小的等腰直角三角形
$S=\frac 12 · x · x=\frac 12x^2$
当3＜x≤6时，阴影部分为一个四边形，
面积等于$S_{△AOB}$减去一个小的等腰直角三角形
BP=OB-OP=6-x
∴$S=\frac 12×3×6-\frac 12 · (6-x) · (6-x)=9-\frac 12(6-x)^2$
12. 某种水果的进货成本是每吨 $ 0.5 $ 万元，这种水果在市场上的销售量 $ y ( \mathrm { t } ) $ 是每吨销售价 $ x $(万元)的一次函数，且当 $ x = 0.6 $ 时，$ y = 2.4 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 2 $.
(1)写出销售量 $ y ( \mathrm { t } ) $ 与每吨销售价 $ x $(万元)之间的函数表达式；
(2)设销售利润为 $ w $(万元)，求 $ w $(万元)与 $ x $(万元)之间的函数表达式，并求出销售价为每吨 $ 2 $ 万元时的销售利润.
(1)写出销售量 $ y ( \mathrm { t } ) $ 与每吨销售价 $ x $(万元)之间的函数表达式；
(2)设销售利润为 $ w $(万元)，求 $ w $(万元)与 $ x $(万元)之间的函数表达式，并求出销售价为每吨 $ 2 $ 万元时的销售利润.
答案
解：(1)设y=kx+b
由题意得$\begin{cases}{0.6k+b=2.4}\\{k+b=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=3}\end{cases}$
∴y=-x+3
$(2)w=(x-0.5)(-x+3)=-x^2+3.5x-1.5$
当x=2时，$w=-2^2+3.5×2-1.5=1.5($万元)
由题意得$\begin{cases}{0.6k+b=2.4}\\{k+b=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=3}\end{cases}$
∴y=-x+3
$(2)w=(x-0.5)(-x+3)=-x^2+3.5x-1.5$
当x=2时，$w=-2^2+3.5×2-1.5=1.5($万元)
