【变式 1】将一条两边互相平行的纸带沿 $ EF $折叠，如图 1，$ AD // BC $，$ ED' // FC' $，设 $ ∠ AED' = x° $。

(1)$ ∠ EFB = $。(用含 $ x $的代数式表示)
(2)若将图 1 继续沿 $ BF $折叠成图 2，则 $ ∠ EFC'' = $。(用含 $ x $的代数式表示)

(1)90° - $\frac{1}{2}x°$ (2)$\frac{3}{2}x°-90°$
[解析](1)因为AD//BC,所以∠DEF=∠EFB。
又因为∠DEF=∠D'EF,
所以2∠DEF+∠AED'=180°。
因为∠AED'=x°,所以2∠DEF=180° - x°。
所以∠EFB=∠DEF=$\frac{1}{2}(180°-x°)=90°-\frac{1}{2}x°$。
(2)因为∠EFB+∠EFC'=180°,
所以∠EFC'=180° - $(90°-\frac{1}{2}x°)=90°+\frac{1}{2}x°$。
又因为∠EFC'=2∠EFB+∠EFC'',
所以∠EFC''=∠EFC'-2∠EFB
=$90°+\frac{1}{2}x°-2(90°-\frac{1}{2}x°)=\frac{3}{2}x°-90°$。

【变式 2】如图，折叠一张长方形纸片，已知 $ ∠ 1 = 70° $，则 $ ∠ 2 = $。

55° [解析]如图,根据折叠得出∠EFG =∠2。

因为∠1=70°,
所以∠BEF=∠1=70°。
因为AB//DC,
所以∠EFC=180°−∠BEF=110°。
所以∠2=∠EFG=$\frac{1}{2}$∠EFC=55°。

【例 3】如图，台球运动中母球 $ P $击中桌边的点 $ A $，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点 $ B $，再次反弹经过点 $ C $（提示：$ ∠ PAD = ∠ BAE $，$ ∠ ABE = ∠ CBF $）。
(1)若 $ ∠ PAD = 32° $，求 $ ∠ PAB $的度数。
(2)已知 $ ∠ BAE + ∠ ABE = 90° $，母球 $ P $经过的路线 $ BC $与 $ PA $一定平行吗？请说明理由。

解:(1)因为∠PAD=32°,∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°,所以∠PAB=180°−32°−32°=116°。
(2)BC//PA,理由如下:
因为∠PAD=∠BAE,
∠PAB=180°−∠PAD−∠BAE,
所以∠PAB=180°−2∠BAE。
同理,∠ABC=180°−2∠ABE。
因为∠BAE+∠ABE=90°,
所以∠PAB+∠ABC=360°−2(∠BAE+∠ABE)=180°。
所以BC//PA。

【变式】在活动课“折叠的奥秘”中，美术老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带 $ ABCD $，点 $ E $在 $ AD $上，点 $ F $在 $ BC $上，把长方形纸带沿 $ EF $折叠，若 $ ∠ B'FB = 80° $，求 $ ∠ AEF $的度数。

解:由题知∠EFB'=∠EFB,AD//BC,
因为∠EFB'+∠EFB+∠BFB'=360°,∠BFB'=80°,所以∠EFB'=∠EFB=140°。
因为AD//BC,
所以∠AEF+∠EFB=180°。
所以∠AEF=180°−140°=40°。