19. （8分）已知：如图，在$\square ABCD$中，点$E、F$在$AC$上，且$AF = CE$，点$G、H$分别在$AB、CD$上，且$AG = CH$，$AC$与$GH$相交于点$O$。
求证：（1）$EG// FH$；
（2）$GH、EF$互相平分。
　　

(1) $\because AF = CE$，$\therefore AE = AF - EF = CE - EF = CF$，$\because AB// CD$，$\therefore \angle GAE=\angle HCF$，又$\because AG = CH$，$\therefore \triangle GAE\cong \triangle HCF$，$\therefore \angle GEA=\angle HFC$，$\therefore \angle GEO=\angle HFO$，$\therefore EG// FH$。(2) 连接 $GF$、$HE$，$\because \triangle GAE\cong \triangle HCF$，$\therefore EG = FH$，又$\because EG// FH$，$\therefore$ 四边形 $GFHE$ 为平行四边形，$\therefore GH$、$EF$ 互相平分

20. （8分）如图，将矩形纸片$ABCD$沿着直线$BD$折叠，使点$C$落在点$C'$处，$BC'$交$AD$于点$E$。已知$AD = 8$，$AB = 4$，求$\triangle BED$的面积。
　　　

先证 $DE = BE$，再用勾股定理求出 $BE = 5$，$\triangle BDE$ 是以 $DE$ 为底边、$AB$ 为高的三角形，所以面积为 10

21. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC$的垂直平分线分别交$BC、AB$于点$D、E$，点$F$在$DE$的延长线上，且$AF = CE$。
（1）求证：四边形$ACEF$是平行四边形。
（2）当$\angle B$的大小满足什么条件时，四边形$ACEF$是菱形？请说明理由。
（3）四边形$ACEF$有可能是矩形吗？为什么？
　

(1) 如图，$\because ED$ 是 $BC$ 的垂直平分线，$\therefore EB = EC$，$\therefore \angle 3=\angle 4$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2$ 与 $\angle 4$ 互余，$\angle 1$ 与 $\angle 3$ 互余，$\therefore \angle 1=\angle 2$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\therefore AE = CE$。又 $\because AF = CE$，$\therefore AF = AE$，$\therefore \angle F=\angle 5$，$\because FD\perp BC$，$AC\perp BC$，$\therefore AC// FE$，$\therefore \angle 1=\angle 5$，$\therefore \angle 1=\angle 2=\angle F=\angle 5$，$\therefore \angle AEC=\angle EAF$，$\therefore AF// CE$，$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 是平行四边形；(2) 当 $\angle B = 30^{\circ}$ 时，四边形 $ACEF$ 是菱形。证明：$\because \angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 1=\angle 2 = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AEC = 60^{\circ}$，$\therefore AC = EC$，$\therefore$ 平行四边形 $ACEF$ 是菱形；(3) 四边形 $ACEF$ 不可能是矩形。理由如下：由(1) 可知，$\angle 2$ 与 $\angle 4$ 互余，$\angle 4\neq 0^{\circ}$，$\therefore \angle 2\neq 90^{\circ}$，$\therefore$ 四边形 $ACEF$ 不可能是矩形

22. （10分）如图，$D$是等腰直角三角形$ABC$的直角边$BC$上一点，$AD$的垂直平分线分别交$AC、AD、AB$于点$E、O、F$，且$BC = 1$。
（1）若$AD$是边$BC$上的中线，求$AE$的值；
（2）若四边形$AEDF$是菱形，求$CD$的值。
　　　　

(1) 设 $AE = x$，由 $AE = DE$ 和勾股定理可得 $(1 - x)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=x^{2}$，解得 $x = \frac{5}{8}$；(2) 由勾股定理可得 $AB=\sqrt{2}$。作 $DG\perp AB$ 交 $AB$ 于点 $G$。由四边形 $AEDF$ 是菱形，可证 $AD$ 平分 $\angle BAC$、$DC = DG$。再证 $AG = AC$、$DG = BG$，即得 $CD = BG = AB - AG=\sqrt{2}-1$