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1. 整式加减的运算法则
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先____,再合并____。
2. 整式的化简求值
整式化简求值的实质是有括号的先去括号,再合并同类项,然后代入求值。
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先____,再合并____。
2. 整式的化简求值
整式化简求值的实质是有括号的先去括号,再合并同类项,然后代入求值。
答案
去括号 同类项
解析
【分析】
这道题考查整式加减基本运算法则的识记，解题时先回忆整式加减的运算顺序：进行整式加减运算时，如果式子内有括号，首先要去除括号消除运算限制，之后再把式子中所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项合并，简化式子，按这个运算顺序就能对应填出两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项。因此第一个空填“去括号”，第二个空填“同类项”。
【答案】
去括号 同类项
【知识点】
整式加减运算法则；合并同类项
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对整式加减基本运算步骤的记忆，是后续开展整式化简、求值等复杂运算的基础，相关规则需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式加减基本运算法则的识记，解题时先回忆整式加减的运算顺序：进行整式加减运算时，如果式子内有括号，首先要去除括号消除运算限制，之后再把式子中所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项合并，简化式子，按这个运算顺序就能对应填出两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项。因此第一个空填“去括号”，第二个空填“同类项”。
【答案】
去括号 同类项
【知识点】
整式加减运算法则；合并同类项
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对整式加减基本运算步骤的记忆，是后续开展整式化简、求值等复杂运算的基础，相关规则需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】已知 $ A = a^{2} - 2ab + b^{2} $,$ B = a^{2} + 2ab + b^{2} $。
(1)求 $ A + B $；
(2)求 $ \frac{1}{2}(B - A) $。
(1)求 $ A + B $；
(2)求 $ \frac{1}{2}(B - A) $。
答案
解:
(1)A+B=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²)=a²-2ab+b²+a²+2ab+b²=2a²+2b².
(2) $\frac{1}{2}(B-A)$=$\frac{1}{2}[(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)]$=$\frac{1}{2}(a²+2ab+b²-a²+2ab-b²)$=$\frac{1}{2}×4ab$=2ab.
(1)A+B=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²)=a²-2ab+b²+a²+2ab+b²=2a²+2b².
(2) $\frac{1}{2}(B-A)$=$\frac{1}{2}[(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)]$=$\frac{1}{2}(a²+2ab+b²-a²+2ab-b²)$=$\frac{1}{2}×4ab$=2ab.
解析
【分析】
解题遵循整式加减的基本逻辑：先代入对应代数式，再去括号，最后合并同类项即可。
(1)求A+B时，直接将A、B的表达式代入，去括号后合并同类项，合并时注意仅同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
(2)求$\frac{1}{2}(B-A)$时，先代入A、B的表达式，优先计算括号内的B-A，去括号时因为括号前为减号，括号内每一项都要变号，合并括号内的同类项后再乘$\frac{1}{2}$，运算过程中需格外注意符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 将$A = a^{2} - 2ab + b^{2}$，$B = a^{2} + 2ab + b^{2}$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²)\\&=a²-2ab+b²+a²+2ab+b²\\&=2a²+2b²\end{aligned}$
(2) 将$A = a^{2} - 2ab + b^{2}$，$B = a^{2} + 2ab + b^{2}$代入$\frac{1}{2}(B - A)$得：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}(B - A)&=\frac{1}{2}[(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)]\\&=\frac{1}{2}(a²+2ab+b²-a²+2ab-b²)\\&=\frac{1}{2}×4ab\\&=2ab\end{aligned}$
【答案】
(1) $2a²+2b²$；(2) $2ab$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，重点考察去括号法则和合并同类项方法的应用，解题的易错点为去括号时的符号处理，熟练掌握运算规则即可快速求解，是夯实整式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题遵循整式加减的基本逻辑：先代入对应代数式，再去括号，最后合并同类项即可。
(1)求A+B时，直接将A、B的表达式代入，去括号后合并同类项，合并时注意仅同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
(2)求$\frac{1}{2}(B-A)$时，先代入A、B的表达式，优先计算括号内的B-A，去括号时因为括号前为减号，括号内每一项都要变号，合并括号内的同类项后再乘$\frac{1}{2}$，运算过程中需格外注意符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 将$A = a^{2} - 2ab + b^{2}$，$B = a^{2} + 2ab + b^{2}$代入$A+B$得：
$\begin{aligned}A+B&=(a²-2ab+b²)+(a²+2ab+b²)\\&=a²-2ab+b²+a²+2ab+b²\\&=2a²+2b²\end{aligned}$
(2) 将$A = a^{2} - 2ab + b^{2}$，$B = a^{2} + 2ab + b^{2}$代入$\frac{1}{2}(B - A)$得：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}(B - A)&=\frac{1}{2}[(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)]\\&=\frac{1}{2}(a²+2ab+b²-a²+2ab-b²)\\&=\frac{1}{2}×4ab\\&=2ab\end{aligned}$
【答案】
(1) $2a²+2b²$；(2) $2ab$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的基础题型，重点考察去括号法则和合并同类项方法的应用，解题的易错点为去括号时的符号处理，熟练掌握运算规则即可快速求解，是夯实整式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
(1)几个多项式相减,减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时,要注意符号问题,尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式,可将它视为一个整体进行合并。
(2)去括号时,要注意符号问题,尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式,可将它视为一个整体进行合并。
答案
(1)几个多项式相减,减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时,要注意符号问题,尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式,可将它视为一个整体进行合并。
解析
【分析】
本题考查整式加减运算的核心注意事项，我们可以结合运算场景理解每条要求的必要性：首先，多项式是多个单项式的代数和，作为减式时如果不用括号括起来，会导致仅对减式的第一项做减法运算、其余项符号出错；其次去括号是整式加减的核心步骤，符号错误是该环节最常见的失分点，多重括号下更要逐层核对符号；最后将相同多项式视作整体合并，是简化运算、降低出错概率的常用技巧，符合合并同类项的逻辑。
【解析】
我们对三条注意事项逐一解析：
(1) 多项式相减时，减式括上括号才能明确是减去整个多项式的所有项，避免运算错误。例如计算$(3a+2b)-(a-b)$，若减式不括括号写成$3a+2b-a-b$就会出错，加括号后按照去括号法则运算才能得到正确结果$3a+2b-a+b=2a+3b$。
(2) 去括号时遵循法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号。存在多重括号时，可逐层从内到外（或从外到内）去括号，每一步都核对符号，避免漏变符号。
(3) 当运算中反复出现完全相同的多项式时，可将其看作一个整体，和合并单项式同类项一样，仅合并整体前的系数，能大幅简化运算步骤。例如计算$2(m-n)+5(m-n)-4(m-n)$，把$(m-n)$视作整体合并，可直接得到$(2+5-4)(m-n)=3(m-n)$，无需展开后再合并。
【答案】
(1)几个多项式相减,减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时,要注意符号问题,尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式,可将它视为一个整体进行合并。
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
这三条是整式加减运算的核心注意要点，熟练掌握并落实在运算过程中，能有效规避常见的符号错误，提升运算的准确率和效率，是后续整式化简、求值等运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减运算的核心注意事项，我们可以结合运算场景理解每条要求的必要性：首先，多项式是多个单项式的代数和，作为减式时如果不用括号括起来，会导致仅对减式的第一项做减法运算、其余项符号出错；其次去括号是整式加减的核心步骤，符号错误是该环节最常见的失分点，多重括号下更要逐层核对符号；最后将相同多项式视作整体合并，是简化运算、降低出错概率的常用技巧，符合合并同类项的逻辑。
【解析】
我们对三条注意事项逐一解析：
(1) 多项式相减时，减式括上括号才能明确是减去整个多项式的所有项，避免运算错误。例如计算$(3a+2b)-(a-b)$，若减式不括括号写成$3a+2b-a-b$就会出错，加括号后按照去括号法则运算才能得到正确结果$3a+2b-a+b=2a+3b$。
(2) 去括号时遵循法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内所有项都要变号。存在多重括号时，可逐层从内到外（或从外到内）去括号，每一步都核对符号，避免漏变符号。
(3) 当运算中反复出现完全相同的多项式时，可将其看作一个整体，和合并单项式同类项一样，仅合并整体前的系数，能大幅简化运算步骤。例如计算$2(m-n)+5(m-n)-4(m-n)$，把$(m-n)$视作整体合并，可直接得到$(2+5-4)(m-n)=3(m-n)$，无需展开后再合并。
【答案】
(1)几个多项式相减,减式一定要先用括号括起来；
(2)去括号时,要注意符号问题,尤其是有多重括号时；
(3)遇到相同的多项式,可将它视为一个整体进行合并。
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
这三条是整式加减运算的核心注意要点，熟练掌握并落实在运算过程中，能有效规避常见的符号错误，提升运算的准确率和效率，是后续整式化简、求值等运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 计算：
(1)$ -3(2a^{2}b - ab^{2}) - 2(\frac{1}{2}ab^{2} - 2a^{2}b) $；
(2)$ 4xy^{2} - \frac{1}{2}(x^{3}y + 4xy^{2}) - 2[\frac{1}{4}x^{3}y - (x^{2}y - xy^{2})] $。
(1)$ -3(2a^{2}b - ab^{2}) - 2(\frac{1}{2}ab^{2} - 2a^{2}b) $；
(2)$ 4xy^{2} - \frac{1}{2}(x^{3}y + 4xy^{2}) - 2[\frac{1}{4}x^{3}y - (x^{2}y - xy^{2})] $。
答案
1.解:
(1)-3(2a²b-ab²)-2($\frac{1}{2}ab²-2a²b$)=-6a²b+3ab²-ab²+4a²b=-2a²b+2ab².
(2)4xy²-$\frac{1}{2}(x³y+4xy²)-2[ \frac{1}{4}x³y-(x²y-xy²) ]$=4xy²-$\frac{1}{2}x³y$-2xy²-2($\frac{1}{4}x³y-x²y+xy²$)=4xy²-$\frac{1}{2}x³y$-2xy²-$\frac{1}{2}x³y$+2x²y-2xy²=-x³y+2x²y.
(1)-3(2a²b-ab²)-2($\frac{1}{2}ab²-2a²b$)=-6a²b+3ab²-ab²+4a²b=-2a²b+2ab².
(2)4xy²-$\frac{1}{2}(x³y+4xy²)-2[ \frac{1}{4}x³y-(x²y-xy²) ]$=4xy²-$\frac{1}{2}x³y$-2xy²-2($\frac{1}{4}x³y-x²y+xy²$)=4xy²-$\frac{1}{2}x³y$-2xy²-$\frac{1}{2}x³y$+2x²y-2xy²=-x³y+2x²y.
解析
【分析】
这两道题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的核心步骤：①去括号时要注意两点：若括号前为负号，去括号后括号内每一项都要变号；括号前的系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘。②合并同类项时，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。第(2)题含多层括号，可按“先去小括号，再去中括号”的顺序逐步计算，减少符号错误。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}-3(2a^{2}b - ab^{2}) - 2(\frac{1}{2}ab^{2} - 2a^{2}b)&= -6a^{2}b + 3ab^{2} - ab^{2} + 4a^{2}b \\&= (-6a^{2}b + 4a^{2}b) + (3ab^{2} - ab^{2}) \\&= -2a^{2}b + 2ab^{2}\end{aligned}$
(2) 按顺序去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}&4xy^{2} - \frac{1}{2}(x^{3}y + 4xy^{2}) - 2[\frac{1}{4}x^{3}y - (x^{2}y - xy^{2})] \\&= 4xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y - 2xy^{2} - 2(\frac{1}{4}x^{3}y - x^{2}y + xy^{2}) \\&= 4xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y - 2xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y + 2x^{2}y - 2xy^{2} \\&= (-\frac{1}{2}x^{3}y - \frac{1}{2}x^{3}y) + 2x^{2}y + (4xy^{2} - 2xy^{2} - 2xy^{2}) \\&= -x^{3}y + 2x^{2}y\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2a^{2}b + 2ab^{2}}$；(2) $\boldsymbol{-x^{3}y + 2x^{2}y}$
【知识点】
1.去括号法则 2.合并同类项 3.整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础常规题型，重点考查去括号的符号处理和合并同类项的方法，易错点为去括号时漏乘括号内的项、符号变号错误，熟练掌握运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这两道题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的核心步骤：①去括号时要注意两点：若括号前为负号，去括号后括号内每一项都要变号；括号前的系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘。②合并同类项时，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。第(2)题含多层括号，可按“先去小括号，再去中括号”的顺序逐步计算，减少符号错误。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}-3(2a^{2}b - ab^{2}) - 2(\frac{1}{2}ab^{2} - 2a^{2}b)&= -6a^{2}b + 3ab^{2} - ab^{2} + 4a^{2}b \\&= (-6a^{2}b + 4a^{2}b) + (3ab^{2} - ab^{2}) \\&= -2a^{2}b + 2ab^{2}\end{aligned}$
(2) 按顺序去括号后合并同类项：
$\begin{aligned}&4xy^{2} - \frac{1}{2}(x^{3}y + 4xy^{2}) - 2[\frac{1}{4}x^{3}y - (x^{2}y - xy^{2})] \\&= 4xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y - 2xy^{2} - 2(\frac{1}{4}x^{3}y - x^{2}y + xy^{2}) \\&= 4xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y - 2xy^{2} - \frac{1}{2}x^{3}y + 2x^{2}y - 2xy^{2} \\&= (-\frac{1}{2}x^{3}y - \frac{1}{2}x^{3}y) + 2x^{2}y + (4xy^{2} - 2xy^{2} - 2xy^{2}) \\&= -x^{3}y + 2x^{2}y\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2a^{2}b + 2ab^{2}}$；(2) $\boldsymbol{-x^{3}y + 2x^{2}y}$
【知识点】
1.去括号法则 2.合并同类项 3.整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础常规题型，重点考查去括号的符号处理和合并同类项的方法，易错点为去括号时漏乘括号内的项、符号变号错误，熟练掌握运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
【例2】(教材例题变式)现要做大、小长方体纸盒各一个,尺寸如下(单位：cm)：
|纸盒|长|宽|高|
|小纸盒| $ 2a $ | $ 3b $ | $ c $ |
|大纸盒| $ 3a $ | $ 4b $ | $ 2c $ |
(1)做大纸盒比做小纸盒多用多少平方厘米材料？
(2)当 $ a = 10 $,$ b = 5 $,$ c = 2 $ 时,做这两个纸盒共用多少平方厘米材料？
|纸盒|长|宽|高|
|小纸盒| $ 2a $ | $ 3b $ | $ c $ |
|大纸盒| $ 3a $ | $ 4b $ | $ 2c $ |
(1)做大纸盒比做小纸盒多用多少平方厘米材料？
(2)当 $ a = 10 $,$ b = 5 $,$ c = 2 $ 时,做这两个纸盒共用多少平方厘米材料？
答案
解:
(1)2(2a·3b+2ac+3bc)=12ab+4ac+6bc(cm²),2(3a·4b+3a·2c+4b·2c)=24ab+12ac+16bc(cm²).做一个大纸盒比做一个小纸盒多用(24ab+12ac+16bc)-(12ab+4ac+6bc)=(12ab+8ac+10bc)(cm²)材料.
(2)当a=10,b=5,c=2时,材料共用12ab+4ac+6bc+24ab+12ac+16bc=36ab+16ac+22bc=36×10×5+16×10×2+22×5×2=2340(cm²).
(1)2(2a·3b+2ac+3bc)=12ab+4ac+6bc(cm²),2(3a·4b+3a·2c+4b·2c)=24ab+12ac+16bc(cm²).做一个大纸盒比做一个小纸盒多用(24ab+12ac+16bc)-(12ab+4ac+6bc)=(12ab+8ac+10bc)(cm²)材料.
(2)当a=10,b=5,c=2时,材料共用12ab+4ac+6bc+24ab+12ac+16bc=36ab+16ac+22bc=36×10×5+16×10×2+22×5×2=2340(cm²).
解析
【分析】
要解决纸盒用料问题，首先明确制作纸盒的用料对应长方体的表面积，需用到长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$。
(1) 先分别计算大、小纸盒的表面积，再用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，即可得到多用的材料面积；
(2) 先计算两个纸盒的表面积之和，再将$a$、$b$、$c$的取值代入化简后的整式计算，就能得到总用料面积。计算过程中要注意整式加减时去括号、合并同类项的规则，代入数值时要注意运算顺序。
【解析】
(1) 先计算小纸盒的表面积：
$2(2a·3b + 2a· c + 3b· c)=12ab + 4ac + 6bc\ (\mathrm{cm}^2)$
再计算大纸盒的表面积：
$2(3a·4b + 3a·2c + 4b·2c)=24ab + 12ac + 16bc\ (\mathrm{cm}^2)$
做大纸盒比小纸盒多用的材料面积为：
$(24ab + 12ac + 16bc)-(12ab + 4ac + 6bc)=12ab + 8ac + 10bc\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 两个纸盒共用材料的面积为：
$(12ab + 4ac + 6bc)+(24ab + 12ac + 16bc)=36ab + 16ac + 22bc\ (\mathrm{cm}^2)$
将$a=10$，$b=5$，$c=2$代入上式：
$36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2=1800+320+220=2340\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 做大纸盒比做小纸盒多用$(12ab + 8ac + 10bc)\ \mathrm{cm}^2$材料；
(2) 做这两个纸盒共用$2340\ \mathrm{cm}^2$材料。
【知识点】
长方体表面积计算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式的相关运算，解题关键是将实际用料问题转化为长方体表面积计算问题，运算过程中要注意合并同类项和去括号的正确性，代入数值计算时需注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决纸盒用料问题，首先明确制作纸盒的用料对应长方体的表面积，需用到长方体表面积公式：$\mathrm{表面积}=2×(\mathrm{长}×\mathrm{宽}+\mathrm{长}×\mathrm{高}+\mathrm{宽}×\mathrm{高})$。
(1) 先分别计算大、小纸盒的表面积，再用大纸盒表面积减去小纸盒表面积，即可得到多用的材料面积；
(2) 先计算两个纸盒的表面积之和，再将$a$、$b$、$c$的取值代入化简后的整式计算，就能得到总用料面积。计算过程中要注意整式加减时去括号、合并同类项的规则，代入数值时要注意运算顺序。
【解析】
(1) 先计算小纸盒的表面积：
$2(2a·3b + 2a· c + 3b· c)=12ab + 4ac + 6bc\ (\mathrm{cm}^2)$
再计算大纸盒的表面积：
$2(3a·4b + 3a·2c + 4b·2c)=24ab + 12ac + 16bc\ (\mathrm{cm}^2)$
做大纸盒比小纸盒多用的材料面积为：
$(24ab + 12ac + 16bc)-(12ab + 4ac + 6bc)=12ab + 8ac + 10bc\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 两个纸盒共用材料的面积为：
$(12ab + 4ac + 6bc)+(24ab + 12ac + 16bc)=36ab + 16ac + 22bc\ (\mathrm{cm}^2)$
将$a=10$，$b=5$，$c=2$代入上式：
$36×10×5 + 16×10×2 + 22×5×2=1800+320+220=2340\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 做大纸盒比做小纸盒多用$(12ab + 8ac + 10bc)\ \mathrm{cm}^2$材料；
(2) 做这两个纸盒共用$2340\ \mathrm{cm}^2$材料。
【知识点】
长方体表面积计算、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题结合生活实际考查整式的相关运算，解题关键是将实际用料问题转化为长方体表面积计算问题，运算过程中要注意合并同类项和去括号的正确性，代入数值计算时需注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
