5. 一个两位数的十位数字与个位数字之和为11. 如果这个两位数加上 45,那么得到的两位数恰好等于原来两位数的十位数字与个位数字交换位置所得到的数,求原来这个两位数.

解:设原来这个两位数的十位数字为x,则个位数字为11-x.
根据题意,得10x+11-x+45=10(11-x)+x,
解得x=3.
所以10x+11-x=10×3+11-3=38.
答:原来这个两位数是38.

【分析】解决这类数字类应用题，首先要明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。题目给出十位数字与个位数字的和为11，我们可以先设十位数字为x，那么个位数字即可表示为11-x，进而写出原两位数和交换数位后的两位数的表达式。再根据“原两位数加45等于数位交换后的两位数”这一等量关系，列出一元一次方程求解即可得到原数。
【解析】
解：设原来这个两位数的十位数字为x，则个位数字为11-x。
根据题意，得：10x + 11 - x + 45 = 10(11 - x) + x
解方程：
9x + 56 = 110 - 9x
18x = 54
x = 3
则原两位数为：10x + 11 - x = 10×3 + 11 - 3 = 38
答：原来这个两位数是38。
【答案】
38
【知识点】
一元一次方程的应用，两位数的表示方法，列方程解应用题
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题关键是掌握多位数的表示规则，准确找到题目中的等量关系列方程，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7

6. 在某沙漠地带,汽车每天行驶 200 km,每辆汽车最多可装载行驶 24 天的汽油. 现在甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发,规定都必须沿原路返回 A 地. 为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留足自己返回 A 地的汽油,将其余的汽油补给给甲车,自己返回. 求这样甲车能开出的最远距离.

解:设乙开出x天后返回,则乙留给甲(24-2x)天的汽油.
根据题意,得(24-x)+(24-2x)=24,
解得x=8.
路程为(24+8)×200×1/2=3200(km).
答:甲车能开出的最远距离是3200 km.

【分析】
要让甲车开出最远距离，需保证乙车给甲车的汽油尽可能多，同时满足两个核心约束：①乙车预留的汽油足够自己原路返回A地；②甲车获得补给后总汽油量不能超过最大装载量（即24天的行驶用量）。我们可先设乙车开出x天后返回，先表示出乙车能留给甲车的汽油量，再结合“甲车剩余油量+乙补给的油量=甲车最大装载油量”的等量关系列方程求解，最后结合甲车总可用油量和原路返回的要求，算出最远单程距离。
【解析】
解：设乙车开出x天后返回。
乙车往返各需消耗x天的汽油，因此留给甲车的汽油量为(24-2x)天的用量。
此时甲车已行驶x天，剩余(24-x)天的汽油，补给后甲车总油量最多为24天的用量，据此列方程：
$(24-x)+(24-2x)=24$
解得：$x=8$
甲车总共可使用的汽油对应行驶天数为$24+(24-2×8)=32$天，因需原路返回，单程行驶天数为$32÷2=16$天，
则甲车能开出的最远距离为$16×200=3200(\mathrm{km})$
【答案】
甲车能开出的最远距离是3200 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，资源调配问题
【点评】
本题是结合行程与最优分配的实际应用问题，解题关键是抓住“两车均要原路返回、甲车油箱容量有上限”两个隐含条件，找准油量的等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

7. 某校组织植树活动,已知在甲处植树的有6人,在乙处植树的有 10 人,在丙处植树的有 8 人,现调来若干人去支援,使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为 2 : 3 : 4. 设支援后在甲处植树的总人数为 2x.
(1)根据信息填表:
| | 甲处 | 乙处 | 丙处 |
| 支援后的总人数 | 2x | | |
| 支援的人数 | 2x - 6 | | |

(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的 2 倍,则支援甲、乙、丙三处各有多少人?

解:
(1)填表如下:
| | 甲处 | 乙处 | 丙处 |
| 支援后的总人数 | 2x | 3x | 4x |
| 支援的人数 | 2x - 6 | 3x - 10 | 4x - 8 |
(2)依题意,得4x-8=2(3x-10).
解得x=6.
所以2x-6=6,3x-10=8,4x-8=16.
答:支援甲、乙、丙处各有6人、8人、16人.

【分析】
(1) 已知支援后甲、乙、丙三处总人数之比为2:3:4，且甲处支援后总人数为2x，按比例对应关系，乙处对应3份即3x，丙处对应4份即4x。支援人数等于支援后总人数减去该处原有人数，分别减去乙、丙处原有人数即可得到两处的支援人数。
(2) 找到题中等量关系：支援丙处的人数=2×支援乙处的人数，将用x表示的两处支援人数代入等量关系列一元一次方程，解出x后代入各支援人数的代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据人数比例2:3:4，甲处支援后为2x，因此乙处支援后总人数为$\boldsymbol{3x}$，丙处支援后总人数为$\boldsymbol{4x}$；
乙处原有10人，因此支援人数为$3x-10$；丙处原有8人，因此支援人数为$4x-8$。
(2) 依题意列方程：
$4x-8=2(3x-10)$
去括号得：$4x-8=6x-20$
移项合并同类项得：$2x=12$
解得：$x=6$
分别计算三处支援人数：
支援甲处：$2x-6=2×6-6=6$（人）
支援乙处：$3x-10=3×6-10=8$（人）
支援丙处：$4x-8=4×6-8=16$（人）
【答案】
(1) 第二行（支援后的总人数）依次填：$\boldsymbol{3x}$，$\boldsymbol{4x}$；第三行（支援的人数）依次填：$\boldsymbol{3x-10}$，$\boldsymbol{4x-8}$
(2) 支援甲处6人，支援乙处8人，支援丙处16人。
【知识点】
比例的应用，代数式表示数，一元一次方程的应用
【点评】
本题重点考察根据比例设元的方法，要求能准确用含未知数的代数式表示对应数量，再结合题目给出的等量关系列方程求解，是一元一次方程实际应用的典型调配类题型，掌握比例设元技巧可大幅简化这类题的解题过程。
【难度系数】
0.7

8. 某快递公司针对新客户优惠收费,首件物品的收费标准:若质量不超过 10 kg,则免运费;当质量为 x kg(x ＞ 10)时,运费为(2x - 20)元. 第二件物品的收费标准:当质量为 y kg(y ＞ 0)时,运费为(2y + 10)元.
(1)若新客户所寄首件物品的质量为 13 kg,则运费是多少元?
(2)若新客户所寄首件物品的运费为 32 元,则物品的质量是多少千克?
(3)若新客户所寄首件物品与第二件物品的质量之比为 2 : 5,共付运费 50 元,则两件物品的质量各是多少千克?

解:
(1)因为13＞10,
所以运费为2×13-20=6(元).
答:若新客户所寄首件物品的质量为13 kg,则运费是6元.
(2)由题意,得2x-20=32,解得x=26.
答:若新客户所寄首件物品的运费为32元,则物品的质量是26 kg.
(3)设首件物品的质量为2a kg,则第二件物品的质量为5a kg.
①当0＜2a≤10时,2×5a+10=50,解得a=4,
此时2a=8,5a=20;
②当2a＞10时,2×2a-20+2×5a+10=50,
解得a=30/7.
因为2×30/7=60/7＜10,
所以此情况不符合题意,舍去.
答:首件物品的质量为8 kg,第二件物品的质量为20 kg.

【分析】
(1) 首先判断首件物品质量13kg大于10kg，符合首件超重的收费条件，直接代入对应运费公式计算即可；
(2) 已知首件运费32元，说明首件质量超过10kg，直接根据超重运费公式列一元一次方程求解即可；
(3) 已知两件物品质量比为2:5，可设首件质量为2a kg、第二件为5a kg，由于首件质量≤10kg时免运费，＞10kg时才收取运费，因此需要分两种情况讨论：①首件质量不超过10kg，总运费仅为第二件运费；②首件质量超过10kg，总运费为两件运费之和。分别列方程求解后，要检验解是否符合对应分类的前提，不符合的舍去即可得到正确结果。
【解析】
(1)
∵13＞10，符合首件超重的收费条件
∴运费=2×13 - 20 = 6（元）
答：若新客户所寄首件物品的质量为13 kg，则运费是6元。
(2) 由题意可知首件物品质量超过10kg，列方程得：
2x - 20 = 32
解得x=26
答：若新客户所寄首件物品的运费为32元，则物品的质量是26 kg。
(3) 设首件物品的质量为2a kg，则第二件物品的质量为5a kg，分情况讨论：
① 当0＜2a≤10时，首件免运费，仅需支付第二件运费，列方程得：
2×5a + 10 = 50
解得a=4，此时2a=8，5a=20，符合题意；
② 当2a＞10时，总运费为两件运费之和，列方程得：
(2×2a - 20) + (2×5a + 10) = 50
解得a=30/7，此时2a=60/7＜10，不符合2a＞10的前提，舍去该解。
答：首件物品的质量为8 kg，第二件物品的质量为20 kg。
【答案】
(1) 6元；(2) 26kg；(3) 首件8kg，第二件20kg
【知识点】
一元一次方程应用，分段计费问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的快递收费场景出题，既考察了代数式的直接求值，也考察了一元一次方程的实际应用，解题的核心是明确不同分段的收费规则，第三问注意分类讨论后要验证解是否符合分类前提，避免出现不合题意的增解。
【难度系数】
0.65