变式训练
3. 某中学为了提高学生对国家安全知识的了解，在全校开展了主题为“维护国家安全和社会稳定”的知识竞赛活动.为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩 $ t $(成绩为整数，单位：分)，将成绩分成六组：A组为 $ 70 ≤ t ＜ 75 $，B组为 $ 75 ≤ t ＜ 80 $，C组为 $ 80 ≤ t ＜ 85 $，D组为 $ 85 ≤ t ＜ 90 $，E组为 $ 90 ≤ t ＜ 95 $，F组为 $ 95 ≤ t ≤ 100 $，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形图.

频数分布直方图
扇形图
请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查随机抽取了名参赛学生的成绩；在扇形图中，F组所在扇形的圆心角是$ ° $.
(2)补全频数分布直方图，并估计全校学生竞赛成绩的平均数.
(3)若该校共有 $ 3000 $ 名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于 $ 80 $ 分的人数.

(1)50；28.8
(2)补全频数分布直方图（D组频数为12）；
平均数：$\frac{2×72.5 + 6×77.5 + 10×82.5 + 12×87.5 + 16×92.5 + 4×97.5}{50} = 87.1$分
(3)3000×$\frac{10+12+16+4}{50}$=2520人

【解析】
(1) 由C组频数为10，占比20%，可得抽取的学生总数为$10÷20\% = 50$名；F组有4人，其所在扇形圆心角为$360°×\frac{4}{50}=28.8°$。
(2) 计算D组频数：$50 - 2 - 6 - 10 - 16 - 4 = 12$，补全频数分布直方图（D组高度对应12）；
计算平均数：$\overline{x}=\frac{2×72.5 + 6×77.5 + 10×82.5 + 12×87.5 + 16×92.5 + 4×97.5}{50}=87.1$（分）。
(3) 成绩不低于80分的人数为$10+12+16+4=42$，占抽取人数的$\frac{42}{50}$，则全校参赛学生中成绩不低于80分的人数估计为$3000×\frac{42}{50}=2520$人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$；$\boldsymbol{28.8}$
(2) 补全后的频数分布直方图（D组频数为12）；平均数为$\boldsymbol{87.1}$分
(3) $\boldsymbol{2520}$人
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查频数分布直方图与扇形统计图的综合应用，需掌握两者数据关联，会用样本平均数估计总体平均数，用样本比例估计总体数量。
【难度系数】
0.6

1. 为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取 $ 20 $ 名学生进行“奥运知识知多少”的测试，满分为 $ 10 $ 分，并绘制统计图如图所示.

则这 $ 20 $ 名学生成绩的平均数为()

A.$ 8 $
B.$ 8.1 $
C.$ 8.2 $
D.$ 8.3 $

C

由统计图可知，成绩为6分的有2人，7分的有4人，8分的有5人，9分的有6人，10分的有3人。总分数为：6×2 + 7×4 + 8×5 + 9×6 + 10×3 = 12 + 28 + 40 + 54 + 30 = 164。平均数 = 164÷20 = 8.2。

2. 学校随机抽取了九年级 $ 50 $ 名同学的知识竞赛成绩，并进行了整理，得到如下统计表：

则这 $ 50 $ 名同学的平均成绩为()

A.$ 80 $ 分
B.$ 81 $ 分
C.$ 82 $ 分
D.$ 83 $ 分

C

各组组中值分别为65、75、85、95。平均成绩 = (65×5 + 75×15 + 85×20 + 95×10)÷50 = (325 + 1125 + 1700 + 950)÷50 = 4100÷50 = 82分。