1. 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，CE 平分∠BCA 交 AB 于点 E，∠A = 30°，∠B = 60°。求：
（1）∠BCE 的度数。
（2）∠DCE 的度数。

1. 解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=90°。
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。(2)
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°。
∴∠BCD=90°−∠B=30°。
∴∠DCE=∠BCE−∠BCD=45°−30°=15°。

2. 小明在学习中遇到这样一个问题：
如图 1，在△ABC 中，∠C＞∠B，AE 平分∠BAC，AD⊥BC 于点 D，猜想∠B，∠C，∠EAD 的数量关系。
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B，∠C 的度数求∠EAD，得到下面几组对应值：
上表中 a = ，于是得到∠B，∠C，∠EAD 的数量关系为。
（2）小明继续探究，在线段 AE 上任取一点 P，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D（如图 2），请尝试写出∠B，∠C，∠EPD 之间的数量关系，并说明理由。


(3)小明突发奇想，交换 B，C 两个字母的位置，如图 3，过 EA 的延长线上一点 F 作 FD⊥BC 交 CB 的延长线于点 D，当∠ABC = 80°，∠C = 24°时，∠F 的度数为。

2. 解：(1)20 2 ∠EAD=∠C−∠B (2)∠EPD=$\frac{∠C−∠B}{2}$。理由：过点A作AF⊥BC于点F，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴∠PDE=∠AFE=90°。
∴PD//AF。
∴∠EPD=∠EAF。
∵∠BAC=180°−∠B−∠C，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°−$\frac{∠B+∠C}{2}$。又
∵∠BAF=90°−∠B，
∴∠EAF=∠BAF−∠BAE=$\frac{∠C−∠B}{2}$。
∴∠EPD=$\frac{∠C−∠B}{2}$。(3)28°

3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G。试说明：∠BGC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A。

3. 解：
∵BE，CF分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。
∴∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB)=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)。又
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BGC=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A。

4. (1)如图 1，∠A = 50°，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，则∠BOC = 。
(2)如图 2，∠A = 60°，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线(即∠OBC = $\frac{1}{3}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{3}$∠ACB)，则∠BOC = 。

4. (1)115° (2)140°