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8. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，$G$，$H$分别是$BD$，$AC$的中点，$AB = CD$，$∠ ABD = 20°$，$∠ BDC = 70°$，则$∠ GEF$的大小是().
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$35°$
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$35°$
答案
C
解析
1. 根据三角形中位线定理：
在$△ ABD$中，$E$是$AD$中点，$G$是$BD$中点，故$EG// AB$，且$EG=\frac{1}{2}AB$，得$∠ EGD=∠ ABD=20°$；
在$△ BCD$中，$F$是$BC$中点，$G$是$BD$中点，故$FG// CD$，且$FG=\frac{1}{2}CD$，得$∠ BGF=∠ BDC=70°$。
2. 因为$AB=CD$，所以$EG=FG$，$△ EFG$为等腰三角形。
3. 由平角定义，$∠ EGD + ∠ EGF + ∠ BGF=180°$，代入得$∠ EGF=180°-20°-70°=90°$。
4. 在等腰$△ EFG$中，$∠ GEF=\frac{180°-∠ EGF}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
在$△ ABD$中，$E$是$AD$中点，$G$是$BD$中点，故$EG// AB$，且$EG=\frac{1}{2}AB$，得$∠ EGD=∠ ABD=20°$；
在$△ BCD$中，$F$是$BC$中点，$G$是$BD$中点，故$FG// CD$，且$FG=\frac{1}{2}CD$，得$∠ BGF=∠ BDC=70°$。
2. 因为$AB=CD$，所以$EG=FG$，$△ EFG$为等腰三角形。
3. 由平角定义，$∠ EGD + ∠ EGF + ∠ BGF=180°$，代入得$∠ EGF=180°-20°-70°=90°$。
4. 在等腰$△ EFG$中，$∠ GEF=\frac{180°-∠ EGF}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
9. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进. 图中的折线表示两人之间的距离$y$(单位：$\mathrm{km}$)与小王的行驶时间$x$(单位：$\mathrm{h}$)之间的函数关系，下列结论错误的是().
A.小王骑车的速度为$10\ \mathrm{km/h}$
B.小李骑车的速度为$20\ \mathrm{km/h}$
C.$a$的值为$15$
D.走完全程，小李所用的时间是小王的$\dfrac{2}{3}$
A.小王骑车的速度为$10\ \mathrm{km/h}$
B.小李骑车的速度为$20\ \mathrm{km/h}$
C.$a$的值为$15$
D.走完全程，小李所用的时间是小王的$\dfrac{2}{3}$
答案
D
解析
1. 由x=3时y=30，得甲乙两地距离30km，小王速度为$30÷3=10\ \mathrm{km/h}$，A正确。
2. x=1时两人相遇，两人1小时共走30km，小李速度为$30-10=20\ \mathrm{km/h}$，B正确。
3. 小李走完全程的时间为$30÷20=1.5\ \mathrm{h}$，此时小王走了$10×1.5=15\ \mathrm{km}$，即$a=15$，C正确。
4. 小李走完全程时间为1.5h，小王为3h，$\dfrac{1.5}{3}=\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{3}$，D错误。
2. x=1时两人相遇，两人1小时共走30km，小李速度为$30-10=20\ \mathrm{km/h}$，B正确。
3. 小李走完全程的时间为$30÷20=1.5\ \mathrm{h}$，此时小王走了$10×1.5=15\ \mathrm{km}$，即$a=15$，C正确。
4. 小李走完全程时间为1.5h，小王为3h，$\dfrac{1.5}{3}=\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{3}$，D错误。
10. 已知点$P(m,m + 2)$在定直线$l_{1}$上. 直线$l_{2}$，$l_{3}$的解析式分别为$y = x + 4$，$y = x + 6$，直线$l_{4}$与$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$的交点的横坐标依次为$a$，$b$，$c$，则$a$，$b$，$c$之间的数量关系式是().
A.$a - 2b + c = 0$
B.$a - 2c + b = 0$
C.$b - c + 2a = 0$
D.$c - 2a + b = 0$
A.$a - 2b + c = 0$
B.$a - 2c + b = 0$
C.$b - c + 2a = 0$
D.$c - 2a + b = 0$
答案
A
解析
1. 确定直线$l_1$的解析式：由点$P(m,m+2)$在$l_1$上，令$x=m$，$y=m+2$，消去$m$得$y=x+2$。
2. 设直线$l_4$的解析式为$y=kx+d$（$k≠1$，否则$l_4$与$l_1,l_2,l_3$平行无交点），分别联立$l_4$与$l_1,l_2,l_3$：
联立$y=x+2$与$y=kx+d$，解得$a=\frac{d-2}{1-k}$；
联立$y=x+4$与$y=kx+d$，解得$b=\frac{d-4}{1-k}$；
联立$y=x+6$与$y=kx+d$，解得$c=\frac{d-6}{1-k}$。
3. 计算$a+c=\frac{d-2+d-6}{1-k}=\frac{2d-8}{1-k}=2×\frac{d-4}{1-k}=2b$，移项得$a-2b+c=0$。
2. 设直线$l_4$的解析式为$y=kx+d$（$k≠1$，否则$l_4$与$l_1,l_2,l_3$平行无交点），分别联立$l_4$与$l_1,l_2,l_3$：
联立$y=x+2$与$y=kx+d$，解得$a=\frac{d-2}{1-k}$；
联立$y=x+4$与$y=kx+d$，解得$b=\frac{d-4}{1-k}$；
联立$y=x+6$与$y=kx+d$，解得$c=\frac{d-6}{1-k}$。
3. 计算$a+c=\frac{d-2+d-6}{1-k}=\frac{2d-8}{1-k}=2×\frac{d-4}{1-k}=2b$，移项得$a-2b+c=0$。
二、填空题
11. 计算$\sqrt{(-5)^{2}}$的结果是.
11. 计算$\sqrt{(-5)^{2}}$的结果是.
答案
解：
$\sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5$
12. 数据$12$，$10$，$3$，$9$，$10$，$12$，$2$，$6$，$14$，$10$的第一四分位数$Q_{1} =$；第二四分位数$Q_{2} =$；第三四分位数$Q_{3} =$.
答案
6；10；12
解析
1. 将数据从小到大排序：2，3，6，9，10，10，10，12，12，14，共10个数据。
2. 计算第一四分位数$Q_{1}$：位置为$10×25\%=2.5$，向上取整为第3项，故$Q_{1}=6$。
3. 计算第二四分位数$Q_{2}$（中位数）：位置为$10×50\%=5$，取第5项和第6项的平均数，即$\frac{10+10}{2}=10$。
4. 计算第三四分位数$Q_{3}$：位置为$10×75\%=7.5$，向上取整为第8项，故$Q_{3}=12$。
2. 计算第一四分位数$Q_{1}$：位置为$10×25\%=2.5$，向上取整为第3项，故$Q_{1}=6$。
3. 计算第二四分位数$Q_{2}$（中位数）：位置为$10×50\%=5$，取第5项和第6项的平均数，即$\frac{10+10}{2}=10$。
4. 计算第三四分位数$Q_{3}$：位置为$10×75\%=7.5$，向上取整为第8项，故$Q_{3}=12$。
13. 将直线$y = - 2x - 4$向上平移$3$个单位长度得到的直线解析式是.
答案
$y=-2x-1$
解析
根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，直线$y=-2x-4$向上平移3个单位长度时，k值不变，常数项加3，即$-4+3=-1$，故得到的直线解析式为$y=-2x-1$。
14. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之.” 右面是良马与驽马行走路程$s$(单位：里)关于行走时间$t$(单位：日)的函数图象，则两图象交点$P$的纵坐标是.
答案
4800
解析
设良马行走$ t $日追上驽马，根据路程相等列方程：$ 240t = 150(t + 12) $，解得$ t = 20 $。将$ t = 20 $代入$ s = 240t $，得$ s = 240×20 = 4800 $，即交点$ P $的纵坐标为4800。
