登录
1. 下列函数中，表示$y$是$x$的反比例函数的是()
A.$x(y + 1) = 1$
B.$y=\frac{1}{x - 1}$
C.$y=\frac{1}{x^{2}}$
D.$y=\frac{1}{2x}$
A.$x(y + 1) = 1$
B.$y=\frac{1}{x - 1}$
C.$y=\frac{1}{x^{2}}$
D.$y=\frac{1}{2x}$
答案
D
解析
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$）。
选项A：由$x(y + 1) = 1$，可得$y=\frac{1}{x}-1$，不符合反比例函数的一般形式。
选项B：$y=\frac{1}{x - 1}$，自变量是$x - 1$，不是$x$与$y$成反比例关系的形式，不符合反比例函数定义。
选项C：$y=\frac{1}{x^{2}}$，自变量$x$的次数是$2$，不是$-1$，不符合反比例函数定义。
选项D：$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k = \frac{1}{2}$。
选项A：由$x(y + 1) = 1$，可得$y=\frac{1}{x}-1$，不符合反比例函数的一般形式。
选项B：$y=\frac{1}{x - 1}$，自变量是$x - 1$，不是$x$与$y$成反比例关系的形式，不符合反比例函数定义。
选项C：$y=\frac{1}{x^{2}}$，自变量$x$的次数是$2$，不是$-1$，不符合反比例函数定义。
选项D：$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数的一般形式，其中$k = \frac{1}{2}$。
2. 下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是()
A.正方形的面积$S$与边长$a$的关系
B.正方形的周长$L$与边长$a$的关系
C.长方形的长为$a$，宽为$20$，其面积$S$与$a$的关系
D.长方形的面积为$40$，长为$a$，宽为$b$，$a$与$b$的关系
A.正方形的面积$S$与边长$a$的关系
B.正方形的周长$L$与边长$a$的关系
C.长方形的长为$a$，宽为$20$，其面积$S$与$a$的关系
D.长方形的面积为$40$，长为$a$，宽为$b$，$a$与$b$的关系
答案
D
解析
A.正方形的面积$S$与边长$a$的关系为$S = a^2$，不是反比例函数关系。
B.正方形的周长$L$与边长$a$的关系为$L = 4a$，是正比例函数关系，不是反比例函数关系。
C.长方形的长为$a$，宽为$20$，面积$S$与$a$的关系为$S = 20a$，是正比例函数关系，不是反比例函数关系。
D.长方形的面积为$40$，长为$a$，宽为$b$，则$a$与$b$的关系可以表示为$a = \frac{40}{b}$（$b≠0$），符合反比例函数的定义，是反比例函数关系。
B.正方形的周长$L$与边长$a$的关系为$L = 4a$，是正比例函数关系，不是反比例函数关系。
C.长方形的长为$a$，宽为$20$，面积$S$与$a$的关系为$S = 20a$，是正比例函数关系，不是反比例函数关系。
D.长方形的面积为$40$，长为$a$，宽为$b$，则$a$与$b$的关系可以表示为$a = \frac{40}{b}$（$b≠0$），符合反比例函数的定义，是反比例函数关系。
3. 若函数$y = x^{2m + 1}$为反比例函数，则$m$的值是()
A.$1$
B.$0$
C.$0.5$
D.$- 1$
A.$1$
B.$0$
C.$0.5$
D.$- 1$
答案
D
解析
反比例函数的一般形式为 $y = \frac{k}{x}$（$k$ 为常数且 $k≠ 0$），也可写成 $y = kx^{-1}$ 的形式。
已知函数 $y = x^{2m + 1}$ 为反比例函数，则其指数 $2m + 1$ 必须等于 $-1$，即 $2m + 1 = -1$。
解方程 $2m + 1 = -1$，移项可得 $2m = -1 - 1 = -2$，解得 $m = -1$。
已知函数 $y = x^{2m + 1}$ 为反比例函数，则其指数 $2m + 1$ 必须等于 $-1$，即 $2m + 1 = -1$。
解方程 $2m + 1 = -1$，移项可得 $2m = -1 - 1 = -2$，解得 $m = -1$。
4. 函数$y=\frac{m(m + 1)}{x}$是反比例函数，则$m$必须满足()
A.$m≠0$
B.$m≠ - 1$
C.$m≠ - 1$或$m≠0$
D.$m≠ - 1$且$m≠0$
A.$m≠0$
B.$m≠ - 1$
C.$m≠ - 1$或$m≠0$
D.$m≠ - 1$且$m≠0$
答案
D
解析
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$）。对于函数$y=\frac{m(m + 1)}{x}$，要使其为反比例函数，需满足$m(m + 1)≠0$，即$m≠0$且$m + 1≠0$，解得$m≠0$且$m≠ - 1$。
5. 近视眼镜的度数$y$(度)与镜片焦距$x$($m$)成反比例，已知$400$度近视眼镜镜片的焦距为$0.25m$，则$y$与$x$的函数表达式为()
A.$y=\frac{400}{x}$
B.$y=\frac{1}{4x}$
C.$y=\frac{100}{x}$
D.$y=\frac{1}{400x}$
A.$y=\frac{400}{x}$
B.$y=\frac{1}{4x}$
C.$y=\frac{100}{x}$
D.$y=\frac{1}{400x}$
答案
C
解析
设反比例函数关系式为$y = \frac{k}{x}$（$k≠0$），因为$y = 400$时，$x = 0.25$，将其代入关系式可得$400=\frac{k}{0.25}$，解得$k = 400×0.25 = 100$，所以$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{100}{x}$。
6. 已知$y$与$\sqrt{x}$成反比例，当$y = 1$时，$x = 4$，则当$x = 2$时，$y = $。
答案
$\sqrt{2}$
解析
设$y = \frac{k}{\sqrt{x}}(k ≠ 0)$，当$y = 1$，$x = 4$时，$1 = \frac{k}{\sqrt{4}}$，解得$k = 2$，所以$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$。当$x = 2$时，$y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
7. 已知函数$y=(k + 1)x^{|k| - 3}$是反比例函数，且正比例函数$y = kx$的图象经过第一、三象限，则$k$的值为。
答案
2
解析
因为函数$y=(k + 1)x^{|k| - 3}$是反比例函数，所以$|k| - 3 = -1$且$k + 1 ≠ 0$。由$|k| - 3 = -1$得$|k| = 2$，即$k = \pm 2$。又因为$k + 1 ≠ 0$，所以$k ≠ -1$，故$k = 2$或$k = -2$。又因为正比例函数$y = kx$的图象经过第一、三象限，所以$k ＞ 0$，因此$k = 2$。
8. 已知某个反比例函数的图象经过点$M(- 2,1)$。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当$y=\frac{2}{3}$时，求$x$的值。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当$y=\frac{2}{3}$时，求$x$的值。
答案
（1）设反比例函数的表达式为$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$。
把点$M(-2,1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k = - 2$。
所以反比例函数的表达式为$y = -\frac{2}{x}$。
（2）当$y=\frac{2}{3}$时，$\frac{2}{3}=-\frac{2}{x}$，
两边同乘$3x$得$2x=-6$，解得$x = - 3$。
把点$M(-2,1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k = - 2$。
所以反比例函数的表达式为$y = -\frac{2}{x}$。
（2）当$y=\frac{2}{3}$时，$\frac{2}{3}=-\frac{2}{x}$，
两边同乘$3x$得$2x=-6$，解得$x = - 3$。
9. 如图，分别位于反比例函数$y=\frac{1}{x}$，$y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上的两点$A$、$B$，与原点$O$在同一直线上，且$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$。求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式。
答案
设直线OA的解析式为$y = mx(m ＞ 0)$。
设点$A(a, ma)$，因点$A$在$y = \frac{1}{x}$上，故$ma = \frac{1}{a}$，得$a^2m = 1$。
由$\frac{OA}{OB} = \frac{1}{3}$，设点$B$坐标为$(3a, 3ma)$（因$A$、$B$、$O$共线且在第一象限，横纵坐标比例为$1:3$）。
点$B$在$y = \frac{k}{x}$上，代入得$3ma = \frac{k}{3a}$，即$k = 9a^2m$。
由$a^2m = 1$，得$k = 9×1 = 9$。
故反比例函数表达式为$y = \frac{9}{x}$。
设点$A(a, ma)$，因点$A$在$y = \frac{1}{x}$上，故$ma = \frac{1}{a}$，得$a^2m = 1$。
由$\frac{OA}{OB} = \frac{1}{3}$，设点$B$坐标为$(3a, 3ma)$（因$A$、$B$、$O$共线且在第一象限，横纵坐标比例为$1:3$）。
点$B$在$y = \frac{k}{x}$上，代入得$3ma = \frac{k}{3a}$，即$k = 9a^2m$。
由$a^2m = 1$，得$k = 9×1 = 9$。
故反比例函数表达式为$y = \frac{9}{x}$。
