登录
10. 定义新运算“$ * $”：$ m * n = m^{2}-mn - 3 $。例：$ 2 * 3 = 2^{2}-2 × 3 - 3 = -5 $。则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x * a = 1 $ 的根的情况，下列说法正确的是 (
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有实数根
D.没有实数根
B
)A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有实数根
D.没有实数根
答案
10. B 【解析】由 $ x * a = 1 $，
得 $ x ^ { 2 } - a x - 3 = 1 $，
即 $ x ^ { 2 } - a x - 4 = 0 $。
因为 $ ( - a ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 4 ) = a ^ { 2 } + 16 ≥ 16 ＞ 0 $，
所以此方程有两个不相等的实数根。
得 $ x ^ { 2 } - a x - 3 = 1 $，
即 $ x ^ { 2 } - a x - 4 = 0 $。
因为 $ ( - a ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 4 ) = a ^ { 2 } + 16 ≥ 16 ＞ 0 $，
所以此方程有两个不相等的实数根。
11. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 有两个相等的实数根，则实数 $ m $ 的值为
$ \frac { 9 } { 4 } $
。答案
11. $ \frac { 9 } { 4 } $
12. 小海同学解一元二次方程 $ 4x^{2}-3\sqrt{2}x = \frac{1}{8} $ 的过程如下：
解：$ a = 4,b = -3\sqrt{2},c = \frac{1}{8} $，(第一步)
$ b^{2}-4ac = (-3\sqrt{2})^{2}-4 × 4 × \frac{1}{8} = 16 $，(第二步)
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{16}}{8} $，(第三步)
$ x = \frac{-3\sqrt{2} + 4}{8} $ 或 $ x = \frac{-3\sqrt{2} - 4}{8} $，(第四步)
所以原方程的根是 $ x_{1}=\frac{-3\sqrt{2} + 4}{8} $，$ x_{2}=\frac{-3\sqrt{2} - 4}{8} $。(第五步)
(1) 小海的求解过程从第
(2) 请你写出解这个方程的正确步骤，并求出方程的根。
解：$ a = 4,b = -3\sqrt{2},c = \frac{1}{8} $，(第一步)
$ b^{2}-4ac = (-3\sqrt{2})^{2}-4 × 4 × \frac{1}{8} = 16 $，(第二步)
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{16}}{8} $，(第三步)
$ x = \frac{-3\sqrt{2} + 4}{8} $ 或 $ x = \frac{-3\sqrt{2} - 4}{8} $，(第四步)
所以原方程的根是 $ x_{1}=\frac{-3\sqrt{2} + 4}{8} $，$ x_{2}=\frac{-3\sqrt{2} - 4}{8} $。(第五步)
(1) 小海的求解过程从第
一
步开始出现错误。(2) 请你写出解这个方程的正确步骤，并求出方程的根。
答案
12. 解：(1)一
(2)$ 4 x ^ { 2 } - 3 \sqrt { 2 } x = \frac { 1 } { 8 } $，
移项，得 $ 4 x ^ { 2 } - 3 \sqrt { 2 } x - \frac { 1 } { 8 } = 0 $，
则 $ a = 4 $，$ b = - 3 \sqrt { 2 } $，$ c = - \frac { 1 } { 8 } $，
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 4 × 4 × ( - \frac { 1 } { 8 } ) = 18 + 2 = 20 $，
$ \therefore x = \frac { 3 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 20 } } { 2 × 4 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } \pm 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $。
(2)$ 4 x ^ { 2 } - 3 \sqrt { 2 } x = \frac { 1 } { 8 } $，
移项，得 $ 4 x ^ { 2 } - 3 \sqrt { 2 } x - \frac { 1 } { 8 } = 0 $，
则 $ a = 4 $，$ b = - 3 \sqrt { 2 } $，$ c = - \frac { 1 } { 8 } $，
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 4 × 4 × ( - \frac { 1 } { 8 } ) = 18 + 2 = 20 $，
$ \therefore x = \frac { 3 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 20 } } { 2 × 4 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } \pm 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 5 } } { 8 } $。
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+4x + m = 0 $。
(1) 当 $ m = 1 $ 时，请用配方法求方程的根。
(2) 若方程没有实数根，求 $ m $ 的取值范围。
(1) 当 $ m = 1 $ 时，请用配方法求方程的根。
(2) 若方程没有实数根，求 $ m $ 的取值范围。
答案
13. 解：(1)当 $ m = 1 $ 时，$ x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0 $，
$ \therefore x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 3 $，
$ \therefore ( x + 2 ) ^ { 2 } = 3 $，
$ \therefore x + 2 = \sqrt { 3 } $，或 $ x + 2 = - \sqrt { 3 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = - 2 + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = - 2 - \sqrt { 3 } $。
(2)$ \because x ^ { 2 } + 4 x + m = 0 $ 没有实数根，
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 4 ^ { 2 } - 4 m ＜ 0 $，
$ \therefore m ＞ 4 $。
$ \therefore x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 3 $，
$ \therefore ( x + 2 ) ^ { 2 } = 3 $，
$ \therefore x + 2 = \sqrt { 3 } $，或 $ x + 2 = - \sqrt { 3 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = - 2 + \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = - 2 - \sqrt { 3 } $。
(2)$ \because x ^ { 2 } + 4 x + m = 0 $ 没有实数根，
$ \therefore b ^ { 2 } - 4 a c = 4 ^ { 2 } - 4 m ＜ 0 $，
$ \therefore m ＞ 4 $。
14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x - 2) · (x - k - 1) = 0 $。
(1) 求证：方程总有两个实数根。
(2) 若方程有一根小于 $ -3 $，求 $ k $ 的取值范围。
(1) 求证：方程总有两个实数根。
(2) 若方程有一根小于 $ -3 $，求 $ k $ 的取值范围。
答案
14. 解：(1)证明：$ \because $ 方程 $ ( x - 2 ) ( x - k - 1 ) = 0 $ 即方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 3 ) x + 2 k + 2 = 0 $，
$ b ^ { 2 } - 4 a c = [ - ( k + 3 ) ] ^ { 2 } - 4 × 1 × ( 2 k + 2 ) = k ^ { 2 } - 2 k + 1 = ( k - 1 ) ^ { 2 } ≥ 0 $，
$ \therefore $ 方程总有两个实数根。
(2)$ \because ( x - 2 ) ( x - k - 1 ) = 0 $，
$ \therefore x - 2 = 0 $，或 $ x - k - 1 = 0 $，
$ \therefore x _ { 1 } = 2 $，$ x _ { 2 } = k + 1 $。
$ \because $ 方程有一根小于 $ - 3 $，
$ \therefore k + 1 ＜ - 3 $，解得 $ k ＜ - 4 $，
$ \therefore k $ 的取值范围为 $ k ＜ - 4 $。
$ b ^ { 2 } - 4 a c = [ - ( k + 3 ) ] ^ { 2 } - 4 × 1 × ( 2 k + 2 ) = k ^ { 2 } - 2 k + 1 = ( k - 1 ) ^ { 2 } ≥ 0 $，
$ \therefore $ 方程总有两个实数根。
(2)$ \because ( x - 2 ) ( x - k - 1 ) = 0 $，
$ \therefore x - 2 = 0 $，或 $ x - k - 1 = 0 $，
$ \therefore x _ { 1 } = 2 $，$ x _ { 2 } = k + 1 $。
$ \because $ 方程有一根小于 $ - 3 $，
$ \therefore k + 1 ＜ - 3 $，解得 $ k ＜ - 4 $，
$ \therefore k $ 的取值范围为 $ k ＜ - 4 $。
