登录
10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$A$ 为边 $BC$，$CD$ 垂直平分线的交点，已知 $∠ A=α$，则 $∠ BCD$ 的大小为(
A.$180°-\frac{α}{2}$
B.$90°+α$
C.$2α$
D.$90°+\frac{α}{2}$
A
)A.$180°-\frac{α}{2}$
B.$90°+α$
C.$2α$
D.$90°+\frac{α}{2}$
答案
10. A
11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 60°$，$∠ C = 100°$，$BE$ 平分 $∠ ABC$，$DF$ 平分 $∠ ADC$，则 $∠ BED+∠ BFD =$
$220^{\circ }$
。答案
11. $220^{\circ }$
12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 135°$，$∠ B=∠ D = 90°$，$BC = 4\sqrt{3}$，$AD = 4$，则四边形 $ABCD$ 的面积是
16
。答案
12. 16 [解析]延长BA,CD相交于点E,如图。
$\because ∠BAD=135^{\circ },∠B=∠ADC=90^{\circ },\therefore ∠C=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ },$
$\therefore △BCE$和$△ADE$都是等腰直角三角形。
$S_{四边形ABCD}=S_{△BCE}-S_{△ADE}$
$=\frac {1}{2}×4\sqrt {3}×4\sqrt {3}-\frac {1}{2}×4×4$
$=24 - 8 = 16$。
13. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=∠ C = 90°$，$BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $CD$ 于点 $E$，$DF$ 平分 $∠ ADC$ 交 $AB$ 于点 $F$。
（1）若 $∠ ABC = 42°$，求 $∠ ADF$ 的度数。
（2）求证：$DF// BE$。
（1）若 $∠ ABC = 42°$，求 $∠ ADF$ 的度数。
（2）求证：$DF// BE$。
答案
13. 解:(1)
∵在四边形ABCD中,$∠A=∠C=90^{\circ },∠ABC=42^{\circ },$
$\therefore ∠ADC=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-42^{\circ }=138^{\circ }$。
∵DF平分$∠ADC,$
$\therefore ∠ADF=\frac {1}{2}∠ADC=69^{\circ }$。
(2)
∵在四边形ABCD中,$∠A=∠C=90^{\circ },$
$\therefore ∠ABC+∠ADC=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }$
∵BE平分$∠ABC$,DF平分$∠ADC,$
$\therefore ∠ABE=∠CBE=\frac {1}{2}∠ABC,$
$∠ADF=∠CDF=\frac {1}{2}∠ADC,$
$\therefore ∠ABE+∠ADF=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ADC)=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }$。
∵在$Rt△ADF$中,$∠ADF+∠AFD=90^{\circ },$
$\therefore ∠AFD=∠ABE,$
$\therefore BE// DF$。
∵在四边形ABCD中,$∠A=∠C=90^{\circ },∠ABC=42^{\circ },$
$\therefore ∠ADC=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-42^{\circ }=138^{\circ }$。
∵DF平分$∠ADC,$
$\therefore ∠ADF=\frac {1}{2}∠ADC=69^{\circ }$。
(2)
∵在四边形ABCD中,$∠A=∠C=90^{\circ },$
$\therefore ∠ABC+∠ADC=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }$
∵BE平分$∠ABC$,DF平分$∠ADC,$
$\therefore ∠ABE=∠CBE=\frac {1}{2}∠ABC,$
$∠ADF=∠CDF=\frac {1}{2}∠ADC,$
$\therefore ∠ABE+∠ADF=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ADC)=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }$。
∵在$Rt△ADF$中,$∠ADF+∠AFD=90^{\circ },$
$\therefore ∠AFD=∠ABE,$
$\therefore BE// DF$。
14. 已知在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 140°$，$∠ D = 80°$。
（1）如图 1，若 $∠ B=∠ C$，求出 $∠ C$ 的度数。
（2）如图 2，若 $∠ ABC$ 和 $∠ BCD$ 的平分线相交于点 $E$，试求出 $∠ BEC$ 的度数。
（1）如图 1，若 $∠ B=∠ C$，求出 $∠ C$ 的度数。
（2）如图 2，若 $∠ ABC$ 和 $∠ BCD$ 的平分线相交于点 $E$，试求出 $∠ BEC$ 的度数。
答案
14. 解:(1)
∵$∠A+∠B+∠C+∠D=360^{\circ },∠B =∠C,$
$\therefore ∠B=∠C=(360^{\circ }-∠A-∠D)÷2=70^{\circ }$。
(2)
∵$∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360^{\circ },$
$\therefore ∠ABC+∠BCD=360^{\circ }-∠A-∠D=360^{\circ }-140^{\circ }-80^{\circ }=140^{\circ }$。
∵$∠ABC$和$∠BCD$的平分线相交于点E,
$\therefore ∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC,∠BCE=\frac {1}{2}∠BCD,$
$\therefore ∠EBC+∠BCE=\frac {1}{2}(∠ABC+∠BCD)=\frac {1}{2}×140^{\circ }=70^{\circ },$
$\therefore ∠BEC=180^{\circ }-(∠EBC+∠BCE)=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$。
∵$∠A+∠B+∠C+∠D=360^{\circ },∠B =∠C,$
$\therefore ∠B=∠C=(360^{\circ }-∠A-∠D)÷2=70^{\circ }$。
(2)
∵$∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360^{\circ },$
$\therefore ∠ABC+∠BCD=360^{\circ }-∠A-∠D=360^{\circ }-140^{\circ }-80^{\circ }=140^{\circ }$。
∵$∠ABC$和$∠BCD$的平分线相交于点E,
$\therefore ∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC,∠BCE=\frac {1}{2}∠BCD,$
$\therefore ∠EBC+∠BCE=\frac {1}{2}(∠ABC+∠BCD)=\frac {1}{2}×140^{\circ }=70^{\circ },$
$\therefore ∠BEC=180^{\circ }-(∠EBC+∠BCE)=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$。
