10. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ C = 90^{\circ} $,$ ∠ A = 36^{\circ} $,$ DE $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线,交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 于点 $ E $,则 $ ∠ EBC $ 的度数是。

10. 18°

11. 【数学应用】如图,已知线段 $ AB $。
(1)用尺规作图的方法作出线段 $ AB $ 的垂直平分线 $ l $(保留作图痕迹,不要求写出作法);
(2)在(1)所求的直线 $ l $ 上任取两点 $ M $,$ N $($ M $,$ N $ 均在线段 $ AB $ 的上方,且 $ M $ 在 $ N $ 上方),连接 $ AM $,$ AN $,$ BM $,$ BN $,试说明:$ ∠ MAN = ∠ MBN $。

11. 解:(1)分别以点 A,B 为圆心,以大于 $\frac{1}{2}$AB 的长为半径作弧,两弧交点分别为 E,F,过点 E,F 的直线就是 l。(图略)
(2)因为 l 是线段 AB 的垂直平分线,
所以 AM = BM,AN = BN,
所以∠MAB = ∠MBA,
∠NAB = ∠NBA,
所以∠MAB - ∠NAB = ∠MBA - ∠NBA,
即∠MAN = ∠MBN。

12. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,对角线 $ AC $ 的中点为 $ O $,过点 $ O $ 作 $ AC $ 的垂线分别与 $ AD $,$ BC $ 相交于点 $ E $,$ F $,连接 $ AF $,试说明:$ AE = AF $。

12. 解:因为 AD // BC,所以∠EAO = ∠FCO。
因为 O 为 AC 的中点,所以 OA = OC。
在△AOE 和△COF 中,$\{\begin{array}{l} ∠EAO = ∠FCO, \\ OA = OC, \\ ∠AOE = ∠COF, \end{array} $
所以△AOE ≌ △COF(ASA),
所以 OE = OF。
因为 EF ⊥ AC,所以 AC 垂直平分 EF,
所以 AE = AF。

13. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ EF $ 垂直平分 $ AC $,交 $ AC $ 于点 $ F $,交 $ BC $ 于点 $ E $,$ AD ⊥ BC $,垂足为 $ D $,且 $ BD = DE $,连接 $ AE $。
(1)试说明:$ AB = EC $;
(2)若 $ △ ABC $ 的周长为 $ 20 \mathrm{ cm} $,$ AC = 7 \mathrm{ cm} $,求 $ DC $ 的长。

13. 解:(1)因为 EF 垂直平分 AC,
所以 AE = EC。
因为 AD ⊥ BC,BD = DE,
所以 AB = AE,所以 AB = EC。
(2)因为△ABC 的周长为 20 cm,
所以 AB + BC + AC = 20 cm。
因为 AC = 7 cm,所以 AB + BC = 13 cm。
因为 AB = EC,BD = DE,
所以 AB + BD = EC + DE = DC。
因为 AB + BC = AB + BD + DC = 2DC = 13 cm,所以 DC = $\frac{13}{2}$ cm。