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26. (本小题 13 分)如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$E$为$CD$上一点,且$∠ CBE = ∠ CEB$.
(1) 求证:$BE$平分$∠ ABC$;
(2) 如图②,$F$为$AD$上一动点(不与点$D$重合),$∠ EBA + ∠ EFD = ∠ BEF$.求证:$AD// BC$;
(3) 在(2)的条件下,若$∠ ABC = 120^{\circ}$,过点$B$作直线$l// EF$,作$∠ BEM = 2∠ EFD$,交直线$l$于点$M$,用等式表示$∠ BME$与$∠ EFD$的数量关系,并说明理由.
(1) 求证:$BE$平分$∠ ABC$;
(2) 如图②,$F$为$AD$上一动点(不与点$D$重合),$∠ EBA + ∠ EFD = ∠ BEF$.求证:$AD// BC$;
(3) 在(2)的条件下,若$∠ ABC = 120^{\circ}$,过点$B$作直线$l// EF$,作$∠ BEM = 2∠ EFD$,交直线$l$于点$M$,用等式表示$∠ BME$与$∠ EFD$的数量关系,并说明理由.
答案
(1)见解析；(2)见解析；(3)∠BME=∠EFD
解析
(1)∵AB//CD，∴∠ABE=∠CEB（两直线平行，内错角相等）。∵∠CBE=∠CEB，∴∠ABE=∠CBE，∴BE平分∠ABC。
(2)设∠ABE=∠CBE=x，∠EFD=y，则∠BEF=x+y（已知）。在△BCE中，∠C=180°-2x（三角形内角和）。∵AB//CD，∴∠BGE=∠GED=180°-2x（内错角相等，G为AB上一点使EG=BG）。∠GEF=∠BEF-∠BEG=(x+y)-x=y，∴∠FED=∠GED-∠GEF=180°-2x-y。在△EFD中，y+(180°-2x-y)+∠D=180°，得∠D=2x。∵∠C=180°-2x，∴∠C+∠D=180°，∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
(3)∠BME=∠EFD。理由：∵∠ABC=120°，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=60°。设∠EFD=y，则∠BEF=60°+y，∠BEM=2y。∵l//EF，∴∠EBM=∠BEF=60°+y（两直线平行，同位角相等）。在△BEM中，∠BME=180°-(60°+y)-2y=120°-3y。∵AD//BC，∠D=120°，在△EFD中，y+∠FED+120°=180°，又∠FED=∠BEF-60°=y，∴2y=60°，y=30°。∴∠BME=120°-3×30°=30°=y，即∠BME=∠EFD。
(2)设∠ABE=∠CBE=x，∠EFD=y，则∠BEF=x+y（已知）。在△BCE中，∠C=180°-2x（三角形内角和）。∵AB//CD，∴∠BGE=∠GED=180°-2x（内错角相等，G为AB上一点使EG=BG）。∠GEF=∠BEF-∠BEG=(x+y)-x=y，∴∠FED=∠GED-∠GEF=180°-2x-y。在△EFD中，y+(180°-2x-y)+∠D=180°，得∠D=2x。∵∠C=180°-2x，∴∠C+∠D=180°，∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
(3)∠BME=∠EFD。理由：∵∠ABC=120°，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=60°。设∠EFD=y，则∠BEF=60°+y，∠BEM=2y。∵l//EF，∴∠EBM=∠BEF=60°+y（两直线平行，同位角相等）。在△BEM中，∠BME=180°-(60°+y)-2y=120°-3y。∵AD//BC，∠D=120°，在△EFD中，y+∠FED+120°=180°，又∠FED=∠BEF-60°=y，∴2y=60°，y=30°。∴∠BME=120°-3×30°=30°=y，即∠BME=∠EFD。
