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6. 已知 $2x - 3y + z = 0$，$3x - 2y - 6z = 0$ 且 $xyz ≠ 0$，则 $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}=$
$\frac{13}{20}$
。答案
6. $\frac{13}{20}$
解析
【解析】
联立已知方程，将z视为参数，解关于x、y的二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -z \\3x - 2y = 6z \end{cases}$
①×3 - ②×2得：$-5y = -15z$，解得$y = 3z$。
将$y = 3z$代入①式：$2x - 9z = -z$，解得$x = 4z$。
因为$xyz≠0$，所以$z≠0$，将$x=4z$，$y=3z$代入分式：
$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}=\frac{(4z)^2+(3z)^2+z^2}{2(4z)^2+(3z)^2-z^2}=\frac{16z^2+9z^2+z^2}{32z^2+9z^2-z^2}=\frac{26z^2}{40z^2}=\frac{13}{20}$。
【答案】
$\frac{13}{20}$
【知识点】
三元一次方程组解法，分式化简求值
【点评】
本题通过消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，用参数表示x、y后代入分式化简求值，考查了消元思想的应用，需注意利用$xyz≠0$的条件确保可约分化简。
【难度系数】
0.6
联立已知方程，将z视为参数，解关于x、y的二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -z \\3x - 2y = 6z \end{cases}$
①×3 - ②×2得：$-5y = -15z$，解得$y = 3z$。
将$y = 3z$代入①式：$2x - 9z = -z$，解得$x = 4z$。
因为$xyz≠0$，所以$z≠0$，将$x=4z$，$y=3z$代入分式：
$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2x^2 + y^2 - z^2}=\frac{(4z)^2+(3z)^2+z^2}{2(4z)^2+(3z)^2-z^2}=\frac{16z^2+9z^2+z^2}{32z^2+9z^2-z^2}=\frac{26z^2}{40z^2}=\frac{13}{20}$。
【答案】
$\frac{13}{20}$
【知识点】
三元一次方程组解法，分式化简求值
【点评】
本题通过消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组，用参数表示x、y后代入分式化简求值，考查了消元思想的应用，需注意利用$xyz≠0$的条件确保可约分化简。
【难度系数】
0.6
7. 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}5x + 3y = 23 \\ x + y = p\end{cases}$ 的解是正整数，则整数 $p$ 的值为 ______ 。
答案
7. $5$或$7$
解析
【解析】
1. 由方程组 $\begin{cases}5x + 3y = 23 \\ x + y = p\end{cases}$，将 $y = p - x$ 代入 $5x + 3y = 23$，得：
$5x + 3(p - x) = 23$，展开整理得 $x = \frac{23 - 3p}{2}$；
2. 同理，将 $x = p - y$ 代入 $5x + 3y = 23$，得 $y = \frac{5p - 23}{2}$；
3. 因为方程组的解 $x$、$y$ 是正整数，所以：
$\begin{cases}\frac{23 - 3p}{2} ＞ 0 \\ \frac{5p - 23}{2} ＞ 0\end{cases}$，且 $\frac{23 - 3p}{2}$、$\frac{5p - 23}{2}$ 为正整数；
4. 解不等式组得 $4.6 ＜ p ＜ 7.67$，整数 $p$ 的可能取值为5、6、7；
5. 分别验证：
当 $p=5$ 时，$x=4$，$y=1$，均为正整数，符合条件；
当 $p=6$ 时，$x=2.5$，不是整数，不符合；
当 $p=7$ 时，$x=1$，$y=6$，均为正整数，符合条件；
综上，整数 $p$ 的值为5或7。
【答案】
$5$或$7$
【知识点】
二元一次方程组的解法；正整数解的确定
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，需通过消元法将未知数用参数表示，结合正整数的限定条件确定参数的整数取值，解题关键是准确列出不等式组并验证解的合理性。
【难度系数】
0.5
1. 由方程组 $\begin{cases}5x + 3y = 23 \\ x + y = p\end{cases}$，将 $y = p - x$ 代入 $5x + 3y = 23$，得：
$5x + 3(p - x) = 23$，展开整理得 $x = \frac{23 - 3p}{2}$；
2. 同理，将 $x = p - y$ 代入 $5x + 3y = 23$，得 $y = \frac{5p - 23}{2}$；
3. 因为方程组的解 $x$、$y$ 是正整数，所以：
$\begin{cases}\frac{23 - 3p}{2} ＞ 0 \\ \frac{5p - 23}{2} ＞ 0\end{cases}$，且 $\frac{23 - 3p}{2}$、$\frac{5p - 23}{2}$ 为正整数；
4. 解不等式组得 $4.6 ＜ p ＜ 7.67$，整数 $p$ 的可能取值为5、6、7；
5. 分别验证：
当 $p=5$ 时，$x=4$，$y=1$，均为正整数，符合条件；
当 $p=6$ 时，$x=2.5$，不是整数，不符合；
当 $p=7$ 时，$x=1$，$y=6$，均为正整数，符合条件；
综上，整数 $p$ 的值为5或7。
【答案】
$5$或$7$
【知识点】
二元一次方程组的解法；正整数解的确定
【点评】
本题考查二元一次方程组的解的应用，需通过消元法将未知数用参数表示，结合正整数的限定条件确定参数的整数取值，解题关键是准确列出不等式组并验证解的合理性。
【难度系数】
0.5
8. 已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程 $(a - 1)x + (a - 2)y + 5 - 2a = 0$，当 $a$ 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解。
答案
8. $\begin{cases} x = -1, \\ y = 3. \end{cases}$
解析
【解析】
将原方程整理为关于$a$的表达式：
$a(x + y - 2) + (-x - 2y + 5) = 0$
由于无论$a$取何值，方程均成立，因此$a$的系数与常数项需同时为0，由此得到方程组：
$\begin{cases}x + y - 2 = 0 \\-x - 2y + 5 = 0\end{cases}$
解该方程组：
由第一个方程得$x = 2 - y$，将其代入第二个方程：
$-(2 - y) - 2y + 5 = 0$
化简得$-y + 3 = 0$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 2 - y$，得$x = -1$。
因此这个公共解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = -1, \\ y = 3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；含参数方程的公共解问题
【点评】
本题考查含参数二元一次方程公共解的求解，核心是通过转化思想，将原方程整理为关于参数$a$的形式，利用“参数取任意值方程均成立时，参数系数与常数项为0”的性质列方程组求解，对转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
将原方程整理为关于$a$的表达式：
$a(x + y - 2) + (-x - 2y + 5) = 0$
由于无论$a$取何值，方程均成立，因此$a$的系数与常数项需同时为0，由此得到方程组：
$\begin{cases}x + y - 2 = 0 \\-x - 2y + 5 = 0\end{cases}$
解该方程组：
由第一个方程得$x = 2 - y$，将其代入第二个方程：
$-(2 - y) - 2y + 5 = 0$
化简得$-y + 3 = 0$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 2 - y$，得$x = -1$。
因此这个公共解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = 3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = -1, \\ y = 3. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；含参数方程的公共解问题
【点评】
本题考查含参数二元一次方程公共解的求解，核心是通过转化思想，将原方程整理为关于参数$a$的形式，利用“参数取任意值方程均成立时，参数系数与常数项为0”的性质列方程组求解，对转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}ax + by = 3 \\ 5x - cy = 1\end{cases}$，甲正确地解得 $\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$，而乙粗心地把 $c$ 看错了，得 $\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}$，试求出 $a$，$b$，$c$ 的值。
答案
9. 解：根据题意，得$\begin{cases} 2a + 3b = 3, \\ 3a + 6b = 3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 3, \\ b = -1. \end{cases}$
把$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$代入方程$5x - cy = 1$，得到$10 - 3c = 1$，
解得$c = 3$，
故$a = 3$，$b = -1$，$c = 3$。
解得$\begin{cases} a = 3, \\ b = -1. \end{cases}$
把$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$代入方程$5x - cy = 1$，得到$10 - 3c = 1$，
解得$c = 3$，
故$a = 3$，$b = -1$，$c = 3$。
解析
【解析】
根据题意，甲的正确解$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$满足方程组，乙看错$c$得到的$\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}$满足不含$c$的方程$ax+by=3$，因此可得关于$a$、$b$的方程组：
$\begin{cases} 2a + 3b = 3 \\ 3a + 6b = 3 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -1 \end{cases}$；
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$代入$5x - cy = 1$，得$10 - 3c = 1$，解得$c = 3$。
【答案】
$a = 3$，$b = -1$，$c = 3$
【知识点】
二元一次方程组求解、方程的解的定义
【点评】
本题关键在于明确：甲的解满足两个方程，乙看错$c$的解仅满足不含$c$的方程，利用这一性质列方程即可求解。
【难度系数】
0.6
根据题意，甲的正确解$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$满足方程组，乙看错$c$得到的$\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}$满足不含$c$的方程$ax+by=3$，因此可得关于$a$、$b$的方程组：
$\begin{cases} 2a + 3b = 3 \\ 3a + 6b = 3 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -1 \end{cases}$；
将$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$代入$5x - cy = 1$，得$10 - 3c = 1$，解得$c = 3$。
【答案】
$a = 3$，$b = -1$，$c = 3$
【知识点】
二元一次方程组求解、方程的解的定义
【点评】
本题关键在于明确：甲的解满足两个方程，乙看错$c$的解仅满足不含$c$的方程，利用这一性质列方程即可求解。
【难度系数】
0.6
10. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x - b_1y = m \\ a_2x - b_2y = n\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 8 \\ y = 10\end{cases}$，请你写出关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1(x - 2) - b_1(y + 1) = 5m \\ a_2(x - 2) - b_2(y + 1) = 5n\end{cases}$ 的解： ______ 。
答案
10. $\begin{cases} x = 42, \\ y = 49. \end{cases}$
解析
【解析】
已知方程组$\begin{cases}a_1x - b_1y = m \\ a_2x - b_2y = n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 8 \\ y = 10\end{cases}$，将所求方程组$\begin{cases}a_1(x - 2) - b_1(y + 1) = 5m \\ a_2(x - 2) - b_2(y + 1) = 5n\end{cases}$两边同时除以5，可得：
$\begin{cases}a_1·\frac{x - 2}{5} - b_1·\frac{y + 1}{5} = m \\ a_2·\frac{x - 2}{5} - b_2·\frac{y + 1}{5} = n\end{cases}$
对比已知方程组，根据二元一次方程组解的定义，可得：
$\begin{cases}\frac{x - 2}{5} = 8 \\ \frac{y + 1}{5} = 10\end{cases}$
解上述方程：
由$\frac{x - 2}{5}=8$，得$x - 2 = 40$，解得$x = 42$；
由$\frac{y + 1}{5}=10$，得$y + 1 = 50$，解得$y = 49$。
故所求方程组的解为$\begin{cases}x = 42 \\ y = 49\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 42, \\ y = 49. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，换元思想
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义及换元思想的应用，通过对所求方程组变形，将$(x-2)/5$、$(y+1)/5$看作整体，转化为已知解的方程组形式求解，需掌握整体代换的解题思路。
【难度系数】
0.6
已知方程组$\begin{cases}a_1x - b_1y = m \\ a_2x - b_2y = n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 8 \\ y = 10\end{cases}$，将所求方程组$\begin{cases}a_1(x - 2) - b_1(y + 1) = 5m \\ a_2(x - 2) - b_2(y + 1) = 5n\end{cases}$两边同时除以5，可得：
$\begin{cases}a_1·\frac{x - 2}{5} - b_1·\frac{y + 1}{5} = m \\ a_2·\frac{x - 2}{5} - b_2·\frac{y + 1}{5} = n\end{cases}$
对比已知方程组，根据二元一次方程组解的定义，可得：
$\begin{cases}\frac{x - 2}{5} = 8 \\ \frac{y + 1}{5} = 10\end{cases}$
解上述方程：
由$\frac{x - 2}{5}=8$，得$x - 2 = 40$，解得$x = 42$；
由$\frac{y + 1}{5}=10$，得$y + 1 = 50$，解得$y = 49$。
故所求方程组的解为$\begin{cases}x = 42 \\ y = 49\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 42, \\ y = 49. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，换元思想
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义及换元思想的应用，通过对所求方程组变形，将$(x-2)/5$、$(y+1)/5$看作整体，转化为已知解的方程组形式求解，需掌握整体代换的解题思路。
【难度系数】
0.6
