1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是()

A.$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 9$
B.$x^2 + x - 5 = (x - 2)(x + 3) + 1$
C.$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
D.$x^2 + 1 = x(x + \frac{1}{x})$

C

根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）分析：
选项A是整式乘法，从积转化为多项式，不符合因式分解定义；
选项B右边不是整式的积的形式，不符合；
选项C将多项式化为整式$ab$与$(a+b)$的积，符合因式分解定义；
选项D右边的$\frac{1}{x}$不是整式，不符合。
综上，正确选项为C。

2. 对于①$(x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2$，②$x^2 - 3xy = x(x - 3y)$，从左到右的变形，表述正确的是()

A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解

D

根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将整式的积转化为多项式，因式分解是将多项式转化为整式的积的形式。分析可知，①左边是整式的积，右边是多项式，属于乘法运算；②左边是多项式，右边是整式的积，属于因式分解。

3. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()

A.$16x^2 + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$a^2 + 2ab - 4b^2$
D.$x^2 - x + \frac{1}{4}$

D

完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足：①是三项式；②两个平方项均为正；③中间项为两个底数乘积的2倍。
选项A：仅两项，不符合完全平方公式的形式；
选项B：常数项为负，平方项异号，不符合；
选项C：$-4b^2$为负，平方项异号，不符合；
选项D：$x^2 - x + \frac{1}{4}=x^2-2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式的形式。

4. 边长为 $a$，$b$ 的矩形周长为 12，面积为 10，则 $a^2b + ab^2$ 的值为()

A.120
B.60
C.80
D.40

B

1. 根据矩形周长公式，由周长为12得：$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
2. 根据矩形面积公式，由面积为10得：$ab=10$；
3. 对$a^2b + ab^2$因式分解，提取公因式$ab$，得$ab(a+b)$；
4. 将$a+b=6$，$ab=10$代入，得$10×6=60$。

5. $(-8)^{2014} + (-8)^{2013}$ 能被下列数整除的是()

A.3
B.5
C.7
D.9

C

对原式提取公因式$(-8)^{2013}$，因式分解得：
$\begin{aligned}(-8)^{2014} + (-8)^{2013}&=(-8)^{2013}×(-8 + 1)\\&=(-8)^{2013}×(-7)\\&=7×8^{2013}\end{aligned}$
结果为7与整数的乘积，故原式能被7整除。

6. 简便计算：$121×0.13 + 12.1×0.9 - 1.21×12 = $.

12.1

先将原式各项转化为含相同公因式的形式：$121×0.13=1.21×13$，$12.1×0.9=1.21×9$，则原式变形为$1.21×13 + 1.21×9 - 1.21×12$；提取公因式$1.21$得：$1.21×(13+9-12)$；计算括号内的结果：$13+9-12=10$，再计算$1.21×10=12.1$。

7. 若将 $3x^2 - mx + n$ 进行因式分解的结果为 $(3x + 2)(x - 1)$，则 $mn =$.

$-2$

先将$(3x + 2)(x - 1)$展开：
$(3x + 2)(x - 1)=3x^2 - 3x + 2x - 2=3x^2 - x - 2$。
根据因式分解与整式乘法的互逆关系，对应系数相等：
$-m=-1$，$n=-2$，解得$m=1$，$n=-2$。
则$mn=1×(-2)=-2$。

8. 若 $a - b = -3$，$b + c = 4$，则 $2b(a - b) - 2c(b - a) =$.

-24

先对原式变形：$2b(a - b) - 2c(b - a)=2b(a - b)+2c(a - b)$，提取公因式得$2(a - b)(b + c)$；将$a - b = -3$，$b + c = 4$代入，得$2×(-3)×4=-24$。

9. 若 $x^2 + x - 2 = 0$，则 $x^3 + 2x^2 - x + 2025 =$.

2027

由$x^2 + x - 2 = 0$得$x^2 + x = 2$。
将$x^3 + 2x^2 - x + 2025$变形：
$x^3 + 2x^2 - x + 2025 = x(x^2 + x) + x^2 - x + 2025$，
代入$x^2 + x = 2$，得：
$x·2 + x^2 - x + 2025 = x^2 + x + 2025$，
再代入$x^2 + x = 2$，得$2 + 2025 = 2027$。

10. 把下列各式因式分解：
(1) $2x^2 - 20x + 50$；
(2) $x^2(x - 3) + y^2(3 - x)$；
(3) $25(m + n)^2 - 9(m - n)^2$；
(4) $2mx^2 - 4mx + 2m$；
(5) $(x^2 + 9)^2 - 36x^2$；
(6) $81x^4 - 4$.

解：
(1) $2x^2 - 20x + 50$
$=2(x^2 - 10x + 25)$
$=2(x - 5)^2$
(2) $x^2(x - 3) + y^2(3 - x)$
$=x^2(x - 3) - y^2(x - 3)$
$=(x - 3)(x^2 - y^2)$
$=(x - 3)(x + y)(x - y)$
(3) $25(m + n)^2 - 9(m - n)^2$
$=[5(m + n)]^2 - [3(m - n)]^2$
$=[5(m + n) + 3(m - n)][5(m + n) - 3(m - n)]$
$=(5m + 5n + 3m - 3n)(5m + 5n - 3m + 3n)$
$=(8m + 2n)(2m + 8n)$
$=2(4m + n) · 2(m + 4n)$
$=4(4m + n)(m + 4n)$
(4) $2mx^2 - 4mx + 2m$
$=2m(x^2 - 2x + 1)$
$=2m(x - 1)^2$
(5) $(x^2 + 9)^2 - 36x^2$
$=(x^2 + 9)^2 - (6x)^2$
$=(x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x)$
$=(x^2 + 6x + 9)(x^2 - 6x + 9)$
$=(x + 3)^2(x - 3)^2$
(6) $81x^4 - 4$
$=(9x^2)^2 - 2^2$
$=(9x^2 + 2)(9x^2 - 2)$
$=(9x^2 + 2)(3x + \sqrt{2})(3x - \sqrt{2})$