12. 如图①，已知四边形 $ABCD$，$AC ⊥ BD$，垂足为 $O$. 定义：像这样，两条对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.

(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是.
(2)【性质探究】性质 $1$：猜想垂美四边形两组对边平方之和($AB^{2} + CD^{2}$ 与 $BC^{2} + AD^{2}$)之间的数量关系，并证明你的猜想.
(3)【问题解决】如图②，分别以 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$，连接 $BE$，$CG$，$EG$，已知 $AC = 4$，$AB = 5$，求 $GE^{2}$.

菱形，正方形
解：$(2) ​AB^2+CD^2=BC^2+AD^2​. $证明如下：​
∵AC⊥ BD​, ​∴∠ AOD=∠ AOB=∠ BOC=∠ COD = 90°​, 
​∴$OA^2+OB^2=AB^2​, ​OB^2+OC^2=BC^2​, ​OC^2+OD^2=CD^2​, ​$
$OA^2+OD^2=AD^2​, ​$
∴$AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2​, ​$
$BC^2+AD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2​, ​$
∴$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2​$
(3) 连接 ​BG​ 和 ​CE​, 交于点 ​O​, ​CE​ 和 ​AB​ 交于点 ​P​, ​
∵△ ACG​ 和 ​△ ABE​ 为等腰直角三角形,
 ​∴$CG^2=32​, ​BE^2=50​, $
在 ​Rt△ ABC​ 中$, ​BC^2=9​, ​∠ CAG=∠ BAE = 90°​, $
​∴∠ GAB=∠ CAE​. 
在 ​△ GAB​ 和 ​△ CAE​ 中, 
$​\begin {cases}GA = CA$，\\∠ GAB=∠ CAE，$\\AB = AE$，$\end {cases}​ ​$
∴$△ GAB≌△ CAE(\mathrm {SAS})​, ​$
∴∠ ABG=∠ AEC​. ​
∵∠ BPE=∠ BAE+∠ AEC=∠ BOP+∠ ABG​, ​
∴∠ BOP=∠ BAE = 90°​, ​
∴$GE^2+BC^2=CG^2+BE^2​, ​$
∴$GE^2=73​$