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8. 如果一组数据 $a_{1}$，$a_{2}$，$···$，$a_{n}$ 的方差是 2，那么一组新数据 $2a_{1}$，$2a_{2}$，$···$， $2a_{n}$ 的方差是().
A.2
B.4
C.8
D.16
A.2
B.4
C.8
D.16
答案
C
解析
设原数据的平均数为$\overline{x}$，方差$s^2=2$。新数据的平均数为$2\overline{x}$，新方差$s'^2=\frac{1}{n}[(2a_1-2\overline{x})^2+(2a_2-2\overline{x})^2+\dots+(2a_n-2\overline{x})^2]=4×\frac{1}{n}[(a_1-\overline{x})^2+(a_2-\overline{x})^2+\dots+(a_n-\overline{x})^2]=4s^2=4×2=8$。
9. 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖).
那么被遮盖的两个数据依次是().
A.78，2
B.78，$\sqrt{2}$
C.80，2
D.80，$\sqrt{2}$
那么被遮盖的两个数据依次是().
A.78，2
B.78，$\sqrt{2}$
C.80，2
D.80，$\sqrt{2}$
答案
A
解析
1. 计算C的得分：五名同学的总分是$80×5=400$，已知四人得分总和为$81+79+80+82=322$，因此C的得分是$400-322=78$。
2. 计算方差：根据方差公式，先求各数据与平均数的差的平方：$(81-80)^2=1$，$(79-80)^2=1$，$(78-80)^2=4$，$(80-80)^2=0$，$(82-80)^2=4$；再计算这些平方的平均数，即方差为$\frac{1+1+4+0+4}{5}=2$。
综上，被遮盖的两个数据依次是78，2。
2. 计算方差：根据方差公式，先求各数据与平均数的差的平方：$(81-80)^2=1$，$(79-80)^2=1$，$(78-80)^2=4$，$(80-80)^2=0$，$(82-80)^2=4$；再计算这些平方的平均数，即方差为$\frac{1+1+4+0+4}{5}=2$。
综上，被遮盖的两个数据依次是78，2。
10. 如图为某地区 2025 年 2 月和 3 月的空气质量指数(AQI)箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值在 201～300 之间，则说明重度污染.下列说法错误的是().
A.该地区 2025 年 3 月有重度污染天气
B.该地区 2025 年 3 月的 AQI 值比 2 月集中
C.该地区 2025 年 2 月的 AQI 值比 3 月集中
D.从整体上看，该地区 2025 年 2 月的空气质量好于 3 月
A.该地区 2025 年 3 月有重度污染天气
B.该地区 2025 年 3 月的 AQI 值比 2 月集中
C.该地区 2025 年 2 月的 AQI 值比 3 月集中
D.从整体上看，该地区 2025 年 2 月的空气质量好于 3 月
答案
B
解析
根据箱线图的性质分析：
1. 3月AQI最大值超过200，存在重度污染天气，A正确；
2. 箱线图中箱子越短数据越集中，2月的箱子更短，说明2月AQI值比3月集中，故B错误，C正确；
3. 2月AQI整体数值低于3月，空气质量好于3月，D正确。
综上，错误的说法是B。
1. 3月AQI最大值超过200，存在重度污染天气，A正确；
2. 箱线图中箱子越短数据越集中，2月的箱子更短，说明2月AQI值比3月集中，故B错误，C正确；
3. 2月AQI整体数值低于3月，空气质量好于3月，D正确。
综上，错误的说法是B。
二、填空题
11. 武汉冬季某一周的最低气温走势如下表所示，那么这一周的平均最低气温是℃.
11. 武汉冬季某一周的最低气温走势如下表所示，那么这一周的平均最低气温是℃.
答案
解：
总天数为 $2+1+1+1+2=7$ 天，
平均最低气温为
$\frac{(-3)×2 + (-2)×1 + (-1)×1 + 0×1 + 1×2}{7} = \frac{-6 - 2 - 1 + 0 + 2}{7} = \frac{-7}{7} = -1 \ (\mathrm{℃})$
答：这一周的平均最低气温是$-1$℃。
总天数为 $2+1+1+1+2=7$ 天，
平均最低气温为
$\frac{(-3)×2 + (-2)×1 + (-1)×1 + 0×1 + 1×2}{7} = \frac{-6 - 2 - 1 + 0 + 2}{7} = \frac{-7}{7} = -1 \ (\mathrm{℃})$
答：这一周的平均最低气温是$-1$℃。
12. 一组数据 1，2，$x$，4 的众数是 1，则 $x=$.
答案
1
解析
根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数。已知该组数据的众数为1，现有数据中1、2、4均出现1次，因此x=1，此时1出现的次数最多。
13. 一组数据 1，4，6，$x$ 的中位数和平均数相等，则 $x$ 的值是.
答案
$-1$、$3$、$9$
解析
本题需分三种情况讨论：
1. 当$x ≤ 1$时，数据从小到大排列为$x,1,4,6$，中位数为$\frac{1+4}{2}=2.5$，平均数为$\frac{1+4+6+x}{4}=\frac{11+x}{4}$。
令$\frac{11+x}{4}=2.5$，解得$x=-1$，符合$x ≤ 1$。
2. 当$1 ＜ x ＜ 6$时，数据从小到大排列为$1,x,4,6$，中位数为$\frac{x+4}{2}$。
令$\frac{11+x}{4}=\frac{x+4}{2}$，解得$x=3$，符合$1 ＜ x ＜ 6$。
3. 当$x ≥ 6$时，数据从小到大排列为$1,4,6,x$，中位数为$\frac{4+6}{2}=5$。
令$\frac{11+x}{4}=5$，解得$x=9$，符合$x ≥ 6$。
综上，$x$的值为$-1$、$3$或$9$。
1. 当$x ≤ 1$时，数据从小到大排列为$x,1,4,6$，中位数为$\frac{1+4}{2}=2.5$，平均数为$\frac{1+4+6+x}{4}=\frac{11+x}{4}$。
令$\frac{11+x}{4}=2.5$，解得$x=-1$，符合$x ≤ 1$。
2. 当$1 ＜ x ＜ 6$时，数据从小到大排列为$1,x,4,6$，中位数为$\frac{x+4}{2}$。
令$\frac{11+x}{4}=\frac{x+4}{2}$，解得$x=3$，符合$1 ＜ x ＜ 6$。
3. 当$x ≥ 6$时，数据从小到大排列为$1,4,6,x$，中位数为$\frac{4+6}{2}=5$。
令$\frac{11+x}{4}=5$，解得$x=9$，符合$x ≥ 6$。
综上，$x$的值为$-1$、$3$或$9$。
14. 一名学生军训时连续射靶 10 次，命中的环数分别为 4，7，8，6，8，5，9，10，7，6，则这名学生射击环数的方差是.
答案
3
解析
1. 计算平均数：$\bar{x}=\frac{4+7+8+6+8+5+9+10+7+6}{10}=7$；
2. 计算方差：$s^2=\frac{1}{10}[(4-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(5-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{10}×(9+0+1+1+1+4+4+9+0+1)=3$。
2. 计算方差：$s^2=\frac{1}{10}[(4-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(5-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{10}×(9+0+1+1+1+4+4+9+0+1)=3$。
15. 某公司欲招聘工人，对候选人进行语言、创新、综合知识三项测试，并按测试得分 1∶4∶3 的比例确定测试综合评分.已知某候选人三项得分分别为 88，72，50，则这位候选人招聘测试的综合评分是.
答案
65.75
解析
根据加权平均数的计算方法，三项测试得分的权重比为1∶4∶3，总权重为1+4+3=8。
综合评分 = (88×1 + 72×4 + 50×3)÷8 = (88 + 288 + 150)÷8 = 526÷8 = 65.75
综合评分 = (88×1 + 72×4 + 50×3)÷8 = (88 + 288 + 150)÷8 = 526÷8 = 65.75
16. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图)，若每班有 42 名学生，则三个班级的第 11 名中，班的分数最高(填“甲”或“乙”或“丙”).
答案
丙
解析
1. 计算25%分位数的位置：42×25%=10.5，因此第11名学生的分数对应箱线图中的下四分位数（箱子左边界）。
2. 观察箱线图可知，丙班的下四分位数数值最高，故丙班第11名的分数最高。
2. 观察箱线图可知，丙班的下四分位数数值最高，故丙班第11名的分数最高。
