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1. 下列结论不一定成立的是().
A.平行四边形的对角线平分一组对角
B.矩形的对角线相等
C.菱形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直、平分且相等
A.平行四边形的对角线平分一组对角
B.矩形的对角线相等
C.菱形的对角线互相垂直
D.正方形的对角线互相垂直、平分且相等
答案
A
解析
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质分析：
平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角；
矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直、平分且相等，均为对应图形的确定性质。
综上，结论不一定成立的是选项A。
平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角；
矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直、平分且相等，均为对应图形的确定性质。
综上，结论不一定成立的是选项A。
2. 下列说法中不正确的是().
A.平行四边形的对角线互相平分
B.四边相等的四边形是菱形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.正方形是特殊的矩形
A.平行四边形的对角线互相平分
B.四边相等的四边形是菱形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.正方形是特殊的矩形
答案
C
解析
逐一分析选项：
A. 平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的基本性质，正确；
B. 四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，正确；
C. 矩形的对角线相等且互相平分，但不互相垂直，该说法错误；
D. 正方形具备矩形的所有性质，是特殊的矩形，正确。
综上，不正确的是选项C。
A. 平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的基本性质，正确；
B. 四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，正确；
C. 矩形的对角线相等且互相平分，但不互相垂直，该说法错误；
D. 正方形具备矩形的所有性质，是特殊的矩形，正确。
综上，不正确的是选项C。
3. 正方形的对角线长为 $ 6 \sqrt{2} $，则其面积为().
A.$ 24 \sqrt{2} $
B.72
C.36
D.24
A.$ 24 \sqrt{2} $
B.72
C.36
D.24
答案
C
解析
方法一：设正方形边长为$a$，根据勾股定理，$(6\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2$，解得$a^2 = 36$，即正方形面积为36。
方法二：正方形面积等于对角线乘积的一半，即面积$=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×6\sqrt{2}=36$。
方法二：正方形面积等于对角线乘积的一半，即面积$=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×6\sqrt{2}=36$。
4. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，AE 的延长线交 CD 于点 F，连接 CE. 若 $ ∠ BAE = 53° $，则 $ ∠ CEF $ 的度数为().
A.$ 13° $
B.$ 14° $
C.$ 15° $
D.$ 16° $
A.$ 13° $
B.$ 14° $
C.$ 15° $
D.$ 16° $
答案
D
解析
1. 四边形ABCD是正方形，故AB=BC，∠ABE=∠CBE=45°，∠BCD=90°，AB//CD。
2. 在△ABE和△CBE中，$\{\begin{array}{l} AB=BC\\ ∠ABE=∠CBE\\ BE=BE\end{array} $，所以△ABE≌△CBE（SAS），得∠BCE=∠BAE=53°。
3. 由AB//CD，得∠BAE=∠DFA=53°，故∠CFE=180°-∠DFA=127°。
4. 计算∠ECF=∠BCD-∠BCE=90°-53°=37°。
5. 在△CEF中，∠CEF=180°-∠CFE-∠ECF=180°-127°-37°=16°。
2. 在△ABE和△CBE中，$\{\begin{array}{l} AB=BC\\ ∠ABE=∠CBE\\ BE=BE\end{array} $，所以△ABE≌△CBE（SAS），得∠BCE=∠BAE=53°。
3. 由AB//CD，得∠BAE=∠DFA=53°，故∠CFE=180°-∠DFA=127°。
4. 计算∠ECF=∠BCD-∠BCE=90°-53°=37°。
5. 在△CEF中，∠CEF=180°-∠CFE-∠ECF=180°-127°-37°=16°。
5. 如图，正方形 ABCD 的顶点 A，B 分别落在直角坐标系的 y 轴、x 轴上，$ A(0,3) $，$ B(1,0) $，则点 C 的坐标为().
A.$ (2,4) $
B.$ (4,2) $
C.$ (1,4) $
D.$ (4,1) $
A.$ (2,4) $
B.$ (4,2) $
C.$ (1,4) $
D.$ (4,1) $
答案
D
解析
过点C作CE⊥x轴于点E。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°。
又∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBE。
在△AOB和△BEC中，
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BEC=90°\\∠OAB=∠CBE\\AB=BC\end{array} $
∴△AOB≌△BEC(AAS)。
∵A(0,3)，B(1,0)，
∴OA=3，OB=1。
由全等得：BE=OA=3，CE=OB=1，
∴OE=OB+BE=1+3=4，
∴点C的坐标为(4,1)。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°。
又∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBE。
在△AOB和△BEC中，
$\{\begin{array}{l}∠AOB=∠BEC=90°\\∠OAB=∠CBE\\AB=BC\end{array} $
∴△AOB≌△BEC(AAS)。
∵A(0,3)，B(1,0)，
∴OA=3，OB=1。
由全等得：BE=OA=3，CE=OB=1，
∴OE=OB+BE=1+3=4，
∴点C的坐标为(4,1)。
6. 如图，三个边长为 $ 6 \ \mathrm{cm} $ 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点 O 是其中一个正方形的中心，则重叠部分(阴影)的面积为().
A.$ 9 \ \mathrm{cm}^2 $
B.$ 12 \ \mathrm{cm}^2 $
C.$ 18 \ \mathrm{cm}^2 $
D.$ 24 \ \mathrm{cm}^2 $
A.$ 9 \ \mathrm{cm}^2 $
B.$ 12 \ \mathrm{cm}^2 $
C.$ 18 \ \mathrm{cm}^2 $
D.$ 24 \ \mathrm{cm}^2 $
答案
A
解析
连接正方形中心O与相邻两顶点，根据正方形性质，可证阴影部分的三角形与正方形内的三角形全等，故阴影部分面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$。正方形面积为$6×6=36\ \mathrm{cm}^2$，则阴影面积为$36×\frac{1}{4}=9\ \mathrm{cm}^2$。
7. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G. 若 $ BC = 4 $，$ DE = AF = 1 $，则 GF 的长为.
答案
$\boldsymbol{\frac{13}{5}}$
解析
1. 由正方形ABCD得，$AD=CD=BC=4$，$∠ D=∠ BCE=90°$。
2. 已知$AF=DE=1$，则$DF=AD-AF=3$，$CE=CD-DE=3$，故$DF=CE$。
3. 在$△ CDF$和$△ BCE$中，$\begin{cases}CD=BC\\∠ D=∠ BCE\\DF=CE\end{cases}$，所以$△ CDF≌△ BCE$（SAS），得$CF=BE$，$∠ DCF=∠ CBE$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得$CF=\sqrt{CD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故$BE=5$。
5. 由$∠ CBE+∠ BEC=90°$，得$∠ DCF+∠ BEC=90°$，所以$∠ CGE=90°$，即$BE⊥ CF$。
6. 由$△ BCE$的面积公式：$\frac{1}{2}× BC× CE=\frac{1}{2}× BE× CG$，代入得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CG$，解得$CG=\frac{12}{5}$。
7. 则$GF=CF-CG=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$。
2. 已知$AF=DE=1$，则$DF=AD-AF=3$，$CE=CD-DE=3$，故$DF=CE$。
3. 在$△ CDF$和$△ BCE$中，$\begin{cases}CD=BC\\∠ D=∠ BCE\\DF=CE\end{cases}$，所以$△ CDF≌△ BCE$（SAS），得$CF=BE$，$∠ DCF=∠ CBE$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得$CF=\sqrt{CD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故$BE=5$。
5. 由$∠ CBE+∠ BEC=90°$，得$∠ DCF+∠ BEC=90°$，所以$∠ CGE=90°$，即$BE⊥ CF$。
6. 由$△ BCE$的面积公式：$\frac{1}{2}× BC× CE=\frac{1}{2}× BE× CG$，代入得$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CG$，解得$CG=\frac{12}{5}$。
7. 则$GF=CF-CG=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$。
