8. 如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 DE 的垂线交 AB 边所在的直线于点 F，连接 DF，交对角线 AC 所在直线于点 G. 若 $ AF = \frac{1}{2} AB $，则线段 EC 的长度为.

$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

1. 当点F在线段AB上时：
正方形ABCD边长为6，故$AB=AD=6$，由$AF=\frac{1}{2}AB$得$AF=3$。建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(6,6)$，$D(0,6)$，对角线AC的解析式为$y=x$，设$E(a,a)$。
因$DE⊥ EF$，则DE与EF的斜率乘积为$-1$，即$\frac{a-6}{a} × \frac{a}{a-3}=-1$，解得$a=\frac{9}{2}$。
计算EC长度：$EC=\sqrt{(6-\frac{9}{2})^2+(6-\frac{9}{2})^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
2. 当点F在BA的延长线上时：
$AF=3$，$F(-3,0)$，设$E(a,a)$，同理由$DE⊥ EF$得$\frac{a-6}{a} × \frac{a}{a+3}=-1$，解得$a=\frac{3}{2}$。
计算EC长度：$EC=\sqrt{(6-\frac{3}{2})^2+(6-\frac{3}{2})^2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
结合题图中F在线段AB上的位置，故EC的长度为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

9. 在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，F 是 AD 上一点.
(1) 如图①，若 EB 平分 $ ∠ CEF $，求证 $ CE + AF = EF $.
(2) 如图②，若 BF 平分 $ ∠ ABE $，求证 $ CE + AF = BE $.

(1) 证明：
过点$ B $作$ BG ⊥ EF $于点$ G $。
∵ 四边形$ ABCD $是正方形，
∴ $ ∠ A = ∠ C = 90° $，$ AB = BC $。
∵ $ EB $平分$ ∠ CEF $，$ BC ⊥ CD $，$ BG ⊥ EF $，
∴ $ BC = BG $，$ ∠ BGE = ∠ C = 90° $。
又∵ $ AB = BC $，
∴ $ AB = BG $。
在$ \mathrm{Rt}△ BAF $和$ \mathrm{Rt}△ BGF $中，
$\begin{cases}AB = BG \\BF = BF\end{cases}$
∴ $ \mathrm{Rt}△ BAF ≌ \mathrm{Rt}△ BGF $（HL），
∴ $ AF = FG $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCE $和$ \mathrm{Rt}△ BGE $中，
$\begin{cases}BC = BG \\BE = BE\end{cases}$
∴ $ \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ BGE $（HL），
∴ $ CE = EG $。
∵ $ EF = EG + FG $，
∴ $ EF = CE + AF $，即$ CE + AF = EF $。
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(2) 证明：
延长$ DC $到点$ H $，使$ CH = AF $，连接$ BH $。
∵ 四边形$ ABCD $是正方形，
∴ $ AB = BC $，$ ∠ A = ∠ BCD = ∠ BCH = 90° $。
在$ △ BAF $和$ △ BCH $中，
$\begin{cases}AF = CH \\∠ A = ∠ BCH \\AB = BC\end{cases}$
∴ $ △ BAF ≌ △ BCH $（SAS），
∴ $ ∠ ABF = ∠ CBH $，$ ∠ AFB = ∠ H $。
∵ $ AD // BC $，
∴ $ ∠ AFB = ∠ FBC $，
∴ $ ∠ H = ∠ FBC $。
∵ $ BF $平分$ ∠ ABE $，
∴ $ ∠ ABF = ∠ EBF $，
∴ $ ∠ EBF = ∠ CBH $，
∴ $ ∠ EBF + ∠ FBC = ∠ CBH + ∠ FBC $，
即$ ∠ EBH = ∠ FBC $，
∴ $ ∠ H = ∠ EBH $，
∴ $ BE = EH $。
∵ $ EH = CE + CH $，$ CH = AF $，
∴ $ BE = CE + AF $，即$ CE + AF = BE $。

10. 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，点 F 在 AB 上，且 $ AF = BE $，DF 交 AE 于点 H.
(1) 求证 $ AE ⊥ DF $.
(2) 如图①，点 M 在 HD 上，满足 $ HM = HA $，O 为 MC 的中点，连接 DO，求 $ ∠ HDO $ 的度数.
(3) 如图②，将直线 FD 沿射线 AE 方向平移，交 AB 于点 N，交 AE 于点 I，交 CD 于点 K. 当 $ DI = DC $ 时，求 $ \frac{AN}{DK} $ 的值.

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ DAF=∠ ABE=90°$，
在$△ DAF$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}AD=AB \\∠ DAF=∠ ABE \\AF=BE\end{cases}$
∴ $△ DAF ≌ △ ABE$（SAS），
∴ $∠ ADF=∠ BAE$，
∵ $∠ BAE+∠ DAH=90°$，
∴ $∠ ADF+∠ DAH=90°$，
∴ $∠ AHD=180°-(∠ ADF+∠ DAH)=90°$，
∴ $AE ⊥ DF$。
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(2) 解：
连接$AM$，延长$DO$到点$P$，使$OP=DO$，连接$CP$。
∵ $AE ⊥ DF$，$HM=HA$，
∴ $△ AHM$是等腰直角三角形，$∠ AMH=45°$，
∴ $∠ AMD=180°-∠ AMH=135°$。
∵ $O$是$MC$的中点，
∴ $OM=OC$，
在$△ DOM$和$△ POC$中，
$\begin{cases}DO=PO \\∠ DOM=∠ POC \\OM=OC\end{cases}$
∴ $△ DOM ≌ △ POC$（SAS），
∴ $DM=CP$，$∠ ODM=∠ P$，
∴ $DM // CP$，$∠ MDC+∠ DCP=180°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
由(1)知$∠ ADF=∠ BAE$，且$∠ ADF+∠ CDM=90°$，$∠ BAE+∠ DAE=90°$，
∴ $∠ CDM=∠ DAE$。
又$AE=DF$，$HM=HA$，得$DM=DF-HM=AE-AH=DH$，
在$△ ADM$和$△ DCP$中，
$\begin{cases}AD=CD \\∠ DAE=∠ CDM \\DM=CP\end{cases}$
∴ $△ ADM ≌ △ DCP$（SAS），
∴ $DP=AM$，$∠ PDM=90°$，
∴ $△ DPM$是等腰直角三角形，
∵ $DO=PO$，
∴ $DO ⊥ PM$，$∠ HDO=45°$。
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(3) 解：
设正方形$ABCD$的边长为$a$，
∵ $NK // DF$，$AE ⊥ DF$，
∴ $AE ⊥ NK$，即$∠ AIN=90°$。
∵ $DI=DC=a$，$DC=AD$，
∴ $AD=DI$，$∠ DAI=∠ DIA$。
∵ $∠ DAI+∠ ADF=90°$，$∠ DIA+∠ KDI=90°$，
∴ $∠ ADF=∠ KDI$，
由(1)知$∠ ADF=∠ BAE$，故$∠ BAE=∠ KDI$。
在$△ ABE$和$△ DIK$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ KDI \\AB=DI=a \\∠ ABE=∠ DIK=90°\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ DIK$（ASA），
∴ $BE=IK$，
又$AF=BE$，故$AF=IK$。
∵ $NK // DF$，$AB // CD$，
∴ 四边形$DFNK$是平行四边形，$DK=FN$，
∵ $AN=AF+FN=BE+DK$，且$BE=DK$（由全等及平行四边形性质推导），
∴ $AN=2DK$，即$\frac{AN}{DK}=2$。