7. 如图,$PA$、$PB是\odot O$的切线,切点分别为$A$、$B$。探索$\angle AOB与\angle PAB$之间的数量关系,并说明理由。

解: 因为PA、PB是圆O的切线
所以PA=PB
所以∠PAB= $\frac{1}{2}$(180°-∠P)
因为∠PAO=∠PBO= 90°
所以∠P=180°-∠AOB
所以∠AOB=180°-∠P
因为∠PAB= $\frac{1}{2}$×(180°-∠P)
所以∠AOB=2∠PAB

8. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC$、$BD是\odot O$的切线,切点分别为$A$、$B$,$EF分别交AC$、$BD于点E$、$F$,且$EO平分\angle AEF$。
(1) $EF与\odot O$相切吗？为什么？
(2) 设$AE = 4$,$BF = 9$,求$\odot O$的半径。

解：（1）EF是⊙O的切线.理由如下：

如图，过点O作OG⊥EF，垂足为G


∵AC是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAE=90°
∵OG⊥EF
∴∠EGO=90°
∴∠OAE=∠EGO
又∵EO平分∠AEF
∴∠AEO=∠GEO
在△AEO和△GEO中
$\left\{ \begin{array}{l}{∠OAE=∠EGO} \\ {OE=OE} \\ {∠AEO=∠GEO} \end{array} \right.$
∴△AEO≌△GEO
∴OA=OG
∴点G在⊙O上，EF是⊙O的切线

解：（2）如图，过点E作EH⊥BF，垂足为H


∵EH⊥BF
∴∠BHE=∠FHE=90°，
∵AC、BD、EF是⊙O的切线，
∴EF=AE+BF=13，且∠OAE=∠OBF=90°
∴四边形AEHB为矩形
∴BH=AE=4
∵BF=9
∴HF=BF-BH=9-4=5
在Rt△EHF中，EH²=EF²-HF²=13²-5²=144
∴EH=AB=12
∴OA=OB=6
∴⊙O的半径为6