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14. 如图，已知在$\odot O$中，$AB = 4\sqrt{3}$，$AC$是$\odot O$的直径，$AC⊥ BD$于点$F$，$∠ A = 30°$。
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形$OBD$围成一个圆锥的侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形$OBD$围成一个圆锥的侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。
答案
14. (1) $ \dfrac{16}{3}π $ (2) $ \dfrac{4}{3} $
解析
【解析】
（1）
∵AC是$\odot O$的直径，$AC⊥BD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$BF=DF$，
∴$∠BOC=∠COD$。
∵$∠A=30°$，
∴$∠BOC=2∠A=60°$，
∴$∠BOD=2∠BOC=120°$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=4\sqrt{3}$，$∠A=30°$，
∴$BF=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ BOF$中，$∠BOF=60°$，设$\odot O$的半径为$r$，
则$OF=\frac{1}{2}r$，$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}r=2\sqrt{3}$，解得$r=4$。
∴阴影部分（扇形OBD）的面积$S=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
（2）设圆锥底面圆的半径为$r$，
扇形OBD的弧长$l=\frac{120π×4}{180}=\frac{8π}{3}$，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴$2π r=\frac{8π}{3}$，解得$r=\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}π}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
垂径定理，扇形面积公式，圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查垂径定理、圆周角定理、扇形面积公式及圆锥的相关计算，熟练掌握圆的相关性质及公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
（1）
∵AC是$\odot O$的直径，$AC⊥BD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$BF=DF$，
∴$∠BOC=∠COD$。
∵$∠A=30°$，
∴$∠BOC=2∠A=60°$，
∴$∠BOD=2∠BOC=120°$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=4\sqrt{3}$，$∠A=30°$，
∴$BF=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ BOF$中，$∠BOF=60°$，设$\odot O$的半径为$r$，
则$OF=\frac{1}{2}r$，$BF=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}r=2\sqrt{3}$，解得$r=4$。
∴阴影部分（扇形OBD）的面积$S=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16}{3}π$。
（2）设圆锥底面圆的半径为$r$，
扇形OBD的弧长$l=\frac{120π×4}{180}=\frac{8π}{3}$，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，
∴$2π r=\frac{8π}{3}$，解得$r=\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}π}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
垂径定理，扇形面积公式，圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查垂径定理、圆周角定理、扇形面积公式及圆锥的相关计算，熟练掌握圆的相关性质及公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
15. 如图，圆锥的底面半径为$1$厘米，母线长为$3$厘米。
(1)一只蚂蚁要从底面圆周上一点$B$出发，沿圆锥侧面爬到过母线$AB$的轴截面上另一母线$AC$上，它爬行的最短路程是
(2)一只蚂蚁要从底面圆周上一点$B$出发，沿圆锥侧面爬行一周到母线$AB$的中点$D$处，它爬行的最短路程是
(1)一只蚂蚁要从底面圆周上一点$B$出发，沿圆锥侧面爬到过母线$AB$的轴截面上另一母线$AC$上，它爬行的最短路程是
$ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
厘米；(2)一只蚂蚁要从底面圆周上一点$B$出发，沿圆锥侧面爬行一周到母线$AB$的中点$D$处，它爬行的最短路程是
$ \dfrac{3\sqrt{7}}{2} $
厘米。答案
15. (1) $ \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $ (2) $ \dfrac{3\sqrt{7}}{2} $
解析
【解析】
(1) 先将圆锥侧面展开，圆锥底面半径$r=1$cm，母线$l=3$cm，底面周长为$2π r=2π$cm。设侧面展开图扇形的圆心角为$n$，则$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入得$\frac{nπ ×3}{180}=2π ×1$，解得$n=120°$。
在展开图中，蚂蚁从$B$到$AC$的最短路程为过$B$作$AC$的垂线段，此时$∠ BAC=60°$，则最短路程为$AB·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$cm。
(2) 同样将圆锥侧面展开为圆心角$120°$的扇形，$D$为$AB$中点，故$AD=\frac{3}{2}$cm，$AB'=3$cm（$B'$为$B$在展开图中的对应点），$∠ DAB'=120°$。
由余弦定理，最短路程$B'D=\sqrt{AD^2+AB'^2-2· AD· AB'·\cos120°}$，代入得：
$B'D=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2-2×\frac{3}{2}×3×(-\frac{1}{2})}=\sqrt{\frac{9}{4}+9+\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{7}}{2}}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，最短路径问题，余弦定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的应用，利用“化曲为直”的思想将圆锥侧面展开为平面图形，结合三角函数、余弦定理求解最短路径，需熟练掌握圆锥侧面展开图的圆心角计算及平面内最短路径的判定。
【难度系数】
0.4
(1) 先将圆锥侧面展开，圆锥底面半径$r=1$cm，母线$l=3$cm，底面周长为$2π r=2π$cm。设侧面展开图扇形的圆心角为$n$，则$\frac{nπ l}{180}=2π r$，代入得$\frac{nπ ×3}{180}=2π ×1$，解得$n=120°$。
在展开图中，蚂蚁从$B$到$AC$的最短路程为过$B$作$AC$的垂线段，此时$∠ BAC=60°$，则最短路程为$AB·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$cm。
(2) 同样将圆锥侧面展开为圆心角$120°$的扇形，$D$为$AB$中点，故$AD=\frac{3}{2}$cm，$AB'=3$cm（$B'$为$B$在展开图中的对应点），$∠ DAB'=120°$。
由余弦定理，最短路程$B'D=\sqrt{AD^2+AB'^2-2· AD· AB'·\cos120°}$，代入得：
$B'D=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2-2×\frac{3}{2}×3×(-\frac{1}{2})}=\sqrt{\frac{9}{4}+9+\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{7}}{2}}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，最短路径问题，余弦定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的应用，利用“化曲为直”的思想将圆锥侧面展开为平面图形，结合三角函数、余弦定理求解最短路径，需熟练掌握圆锥侧面展开图的圆心角计算及平面内最短路径的判定。
【难度系数】
0.4
16. 如图，一个圆锥的母线长是$4$，底面圆半径$1$，它的侧面展开图是扇形$AOB$，点$P$是弧$AB$上的动点，过点$P$作$PC⊥ OA$于点$C$，设$△ OPC$的内心为$D$，连结$OD$，$PD$。当点$P$从点$B$运动到点$A$时，内心$D$所经过的路径长为
$ \sqrt{2}π $
。答案
16. $ \sqrt{2}π $
解析
【解析】
1. 计算扇形$AOB$的圆心角：
已知圆锥底面圆半径$r=1$，母线长为$4$，底面周长$C=2π r=2π$。设扇形$AOB$的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$\frac{nπ × 4}{180}=2π$，解得$n=90°$，即$∠ AOB=90°$。
2. 建立坐标系分析内心$D$的坐标：
以$O$为原点，$OA$为$y$轴，$OB$为$x$轴建立平面直角坐标系，设$∠ POC=θ(0°≤θ≤90°)$，则$P(4\cosθ,4\sinθ)$，$C(0,4\sinθ)$。
在$Rt△ OPC$中，内切圆半径$r=\frac{OC+PC-OP}{2}=2(\sinθ+\cosθ-1)$，内心$D$的坐标为$(r,4\sinθ - r)$。
3. 推导点$D$的轨迹方程：
设$D(x,y)$，则$x=2(\sinθ+\cosθ-1)$，$y=2(\sinθ-\cosθ+1)$。
变形得$x+2=2(\sinθ+\cosθ)$，$y-2=2(\sinθ-\cosθ)$，两式平方相加得：
$(x+2)^2+(y-2)^2=8$，即点$D$的轨迹是圆心为$(-2,2)$、半径为$2\sqrt{2}$的圆的一段弧。
4. 计算轨迹的弧长：
当$θ=0°$时，$D(0,0)$；当$θ=90°$时，$D(0,4)$。
圆心$(-2,2)$到$(0,0)$、$(0,4)$的向量分别为$(2,-2)$、$(2,2)$，两向量夹角为$90°$。
根据弧长公式，路径长$L=\frac{90π × 2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$。
【答案】
$\sqrt{2}π$
【知识点】
圆锥侧面展开图、三角形内心性质、弧长公式
【点评】
本题综合考查圆锥侧面展开图的性质、三角形内心的坐标表示及圆的弧长计算，通过建立平面直角坐标系推导动点轨迹，对几何建模与代数运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
1. 计算扇形$AOB$的圆心角：
已知圆锥底面圆半径$r=1$，母线长为$4$，底面周长$C=2π r=2π$。设扇形$AOB$的圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$\frac{nπ × 4}{180}=2π$，解得$n=90°$，即$∠ AOB=90°$。
2. 建立坐标系分析内心$D$的坐标：
以$O$为原点，$OA$为$y$轴，$OB$为$x$轴建立平面直角坐标系，设$∠ POC=θ(0°≤θ≤90°)$，则$P(4\cosθ,4\sinθ)$，$C(0,4\sinθ)$。
在$Rt△ OPC$中，内切圆半径$r=\frac{OC+PC-OP}{2}=2(\sinθ+\cosθ-1)$，内心$D$的坐标为$(r,4\sinθ - r)$。
3. 推导点$D$的轨迹方程：
设$D(x,y)$，则$x=2(\sinθ+\cosθ-1)$，$y=2(\sinθ-\cosθ+1)$。
变形得$x+2=2(\sinθ+\cosθ)$，$y-2=2(\sinθ-\cosθ)$，两式平方相加得：
$(x+2)^2+(y-2)^2=8$，即点$D$的轨迹是圆心为$(-2,2)$、半径为$2\sqrt{2}$的圆的一段弧。
4. 计算轨迹的弧长：
当$θ=0°$时，$D(0,0)$；当$θ=90°$时，$D(0,4)$。
圆心$(-2,2)$到$(0,0)$、$(0,4)$的向量分别为$(2,-2)$、$(2,2)$，两向量夹角为$90°$。
根据弧长公式，路径长$L=\frac{90π × 2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$。
【答案】
$\sqrt{2}π$
【知识点】
圆锥侧面展开图、三角形内心性质、弧长公式
【点评】
本题综合考查圆锥侧面展开图的性质、三角形内心的坐标表示及圆的弧长计算，通过建立平面直角坐标系推导动点轨迹，对几何建模与代数运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
