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8. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置.经测算，原来$a$天用水$b$吨，现在这些水可多用 4 天，现在每天比原来少用水
$ ( \dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a + 4} ) $
吨.答案
8. $ ( \dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a + 4} ) $
解析
【解析】
首先计算原来每天的用水量：原来$a$天用水$b$吨，因此原来每天用水量为$\dfrac{b}{a}$吨；
再计算现在每天的用水量：现在这些水可多用4天，即用水天数为$(a+4)$天，因此现在每天用水量为$\dfrac{b}{a+4}$吨；
最后计算现在每天比原来少用水的量：用原来每天用水量减去现在每天用水量，即$\dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a+4}$吨。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a + 4}}$
【知识点】
分式的实际应用
【点评】
本题考查分式在实际生活中的应用，核心是先分别求出原来和现在每天的用水量，再通过作差得到结果，需理解分式表示实际数量的意义。
【难度系数】
0.6
首先计算原来每天的用水量：原来$a$天用水$b$吨，因此原来每天用水量为$\dfrac{b}{a}$吨；
再计算现在每天的用水量：现在这些水可多用4天，即用水天数为$(a+4)$天，因此现在每天用水量为$\dfrac{b}{a+4}$吨；
最后计算现在每天比原来少用水的量：用原来每天用水量减去现在每天用水量，即$\dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a+4}$吨。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a + 4}}$
【知识点】
分式的实际应用
【点评】
本题考查分式在实际生活中的应用，核心是先分别求出原来和现在每天的用水量，再通过作差得到结果，需理解分式表示实际数量的意义。
【难度系数】
0.6
9. 有一个分式，若它满足：①字母$x$的取值范围是$x≠ 1$；②当$x = 5$时，分式的值为 0.则这个分式可以是
$ \dfrac{x - 5}{x - 1} $
.答案
9. $ \dfrac{x - 5}{x - 1} $ (答案不唯一)
解析
【解析】
要满足字母$x$的取值范围是$x≠1$，则分式的分母需满足当$x=1$时分母为0，可设分母为$x-1$；要满足当$x=5$时分式的值为0，则分式的分子需满足当$x=5$时分子为0且此时分母不为0，可设分子为$x-5$。因此这个分式可以是$\dfrac{x - 5}{x - 1}$，答案不唯一，只要符合两个条件即可。
【答案】
$\dfrac{x - 5}{x - 1}$（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的相关性质，需熟练掌握分式有意义及分式值为0的判定条件，答案具有开放性，只要满足题目要求即可。
【难度系数】
0.8
要满足字母$x$的取值范围是$x≠1$，则分式的分母需满足当$x=1$时分母为0，可设分母为$x-1$；要满足当$x=5$时分式的值为0，则分式的分子需满足当$x=5$时分子为0且此时分母不为0，可设分子为$x-5$。因此这个分式可以是$\dfrac{x - 5}{x - 1}$，答案不唯一，只要符合两个条件即可。
【答案】
$\dfrac{x - 5}{x - 1}$（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件，分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的相关性质，需熟练掌握分式有意义及分式值为0的判定条件，答案具有开放性，只要满足题目要求即可。
【难度系数】
0.8
10. 若下列分式有意义，求$x$的取值范围.
(1) $\dfrac{x + 1}{x + 2}$.
(2) $\dfrac{1}{x^{2}-4x + 4}$.
(3) $\dfrac{x - 2}{x^{2}+2}$.
(1) $\dfrac{x + 1}{x + 2}$.
(2) $\dfrac{1}{x^{2}-4x + 4}$.
(3) $\dfrac{x - 2}{x^{2}+2}$.
答案
10. (1) $ x ≠ -2 $. (2) $ x ≠ 2 $. (3) $ x $ 为任意有理数.
解析
【解析】
分式有意义的条件是分母不为零，据此求解：
(1) 对于$\dfrac{x + 1}{x + 2}$，分母$x+2≠0$，解得$x≠ -2$；
(2) 对于$\dfrac{1}{x^{2}-4x + 4}$，分母$x^2-4x+4=(x-2)^2≠0$，解得$x≠2$；
(3) 对于$\dfrac{x - 2}{x^{2}+2}$，因为$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$，分母恒不为零，故$x$为任意有理数。
【答案】
(1) $x≠ -2$；(2) $x≠ 2$；(3) $x$为任意有理数
【知识点】
分式有意义的条件，非负数的性质
【点评】
本题考查分式有意义的条件，核心是牢记分母不为零，通过对不同形式分母的分析，加深对分式概念的理解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
分式有意义的条件是分母不为零，据此求解：
(1) 对于$\dfrac{x + 1}{x + 2}$，分母$x+2≠0$，解得$x≠ -2$；
(2) 对于$\dfrac{1}{x^{2}-4x + 4}$，分母$x^2-4x+4=(x-2)^2≠0$，解得$x≠2$；
(3) 对于$\dfrac{x - 2}{x^{2}+2}$，因为$x^2≥0$，所以$x^2+2≥2＞0$，分母恒不为零，故$x$为任意有理数。
【答案】
(1) $x≠ -2$；(2) $x≠ 2$；(3) $x$为任意有理数
【知识点】
分式有意义的条件，非负数的性质
【点评】
本题考查分式有意义的条件，核心是牢记分母不为零，通过对不同形式分母的分析，加深对分式概念的理解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 当$x$取哪些整数时，分式$\dfrac{3}{x - 1}$的值为整数？
答案
11. 要使分式 $ \dfrac{3}{x - 1} $ 的值为整数，则 $ x - 1 $ 的值为 $ \pm 1 $， $ \pm 3 $.
当 $ x - 1 = 1 $ 时， $ x = 2 $；当 $ x - 1 = -1 $ 时， $ x = 0 $；
当 $ x - 1 = 3 $ 时， $ x = 4 $；当 $ x - 1 = -3 $ 时， $ x = -2 $.
故当 $ x $ 取整数 2，0，4，-2 时，分式 $ \dfrac{3}{x - 1} $ 的值为整数.
当 $ x - 1 = 1 $ 时， $ x = 2 $；当 $ x - 1 = -1 $ 时， $ x = 0 $；
当 $ x - 1 = 3 $ 时， $ x = 4 $；当 $ x - 1 = -3 $ 时， $ x = -2 $.
故当 $ x $ 取整数 2，0，4，-2 时，分式 $ \dfrac{3}{x - 1} $ 的值为整数.
解析
【解析】
要使分式$\dfrac{3}{x - 1}$的值为整数，则$x - 1$的值为$\pm1$，$\pm3$。
当$x - 1 = 1$时，$x = 2$；
当$x - 1 = -1$时，$x = 0$；
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$；
当$x - 1 = -3$时，$x = -2$。
【答案】
当$x$取整数2，0，4，-2时，分式$\dfrac{3}{x - 1}$的值为整数。
【知识点】
分式的值、整数因数分析
【点评】
本题需掌握分式值为整数的条件，即分母是分子的整数因数，求解时要兼顾正负因数，防止漏解。
【难度系数】
0.6
要使分式$\dfrac{3}{x - 1}$的值为整数，则$x - 1$的值为$\pm1$，$\pm3$。
当$x - 1 = 1$时，$x = 2$；
当$x - 1 = -1$时，$x = 0$；
当$x - 1 = 3$时，$x = 4$；
当$x - 1 = -3$时，$x = -2$。
【答案】
当$x$取整数2，0，4，-2时，分式$\dfrac{3}{x - 1}$的值为整数。
【知识点】
分式的值、整数因数分析
【点评】
本题需掌握分式值为整数的条件，即分母是分子的整数因数，求解时要兼顾正负因数，防止漏解。
【难度系数】
0.6
12. 当$x$取何值时，分式$\dfrac{6 - 2|x|}{(x + 3)(x - 1)}$满足下列要求：
(1) 分式的值为 0；(2) 分式无意义；(3) 分式有意义.
(1) 分式的值为 0；(2) 分式无意义；(3) 分式有意义.
答案
解：
(1) 要使分式的值为0，需分子为0且分母不为0。
由分子$6 - 2|x| = 0$，解得$|x| = 3$，即$x = 3$或$x = -3$。
又分母$(x + 3)(x - 1) ≠ 0$，即$x ≠ -3$且$x ≠ 1$，
因此$x = 3$时，分式的值为0。
(2) 要使分式无意义，需分母为0，即$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x = -3$或$x = 1$，
因此当$x = -3$或$x = 1$时，分式无意义。
(3) 要使分式有意义，需分母不为0，即$(x + 3)(x - 1) ≠ 0$，
解得$x ≠ -3$且$x ≠ 1$，
因此当$x ≠ -3$且$x ≠ 1$时，分式有意义。
(1) 要使分式的值为0，需分子为0且分母不为0。
由分子$6 - 2|x| = 0$，解得$|x| = 3$，即$x = 3$或$x = -3$。
又分母$(x + 3)(x - 1) ≠ 0$，即$x ≠ -3$且$x ≠ 1$，
因此$x = 3$时，分式的值为0。
(2) 要使分式无意义，需分母为0，即$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x = -3$或$x = 1$，
因此当$x = -3$或$x = 1$时，分式无意义。
(3) 要使分式有意义，需分母不为0，即$(x + 3)(x - 1) ≠ 0$，
解得$x ≠ -3$且$x ≠ 1$，
因此当$x ≠ -3$且$x ≠ 1$时，分式有意义。
解析
1
13. 给定一列分式：$\dfrac{x^{3}}{y},-\dfrac{x^{5}}{y^{2}},\dfrac{x^{7}}{y^{3}},-\dfrac{x^{9}}{y^{4}},···$.则第$n$个分式可表示为
$ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $
.答案
13. $ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $
解析
【解析】
观察分式序列：
1. 符号规律：第1个为正，第2个为负，依次交替，可用$(-1)^{n+1}$表示；
2. 分子规律：$x$的次数依次为3,5,7,9···，即$2n+1$，故分子为$x^{2n+1}$；
3. 分母规律：$y$的次数依次为1,2,3,4···，即$n$，故分母为$y^n$。
综上，第$n$个分式为$ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $。
【答案】
$ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $
【知识点】
分式规律探究、指数变化规律
【点评】
本题考查分式序列的规律探究，需分别分析符号、分子、分母的变化规律，再整合得出结果，着重考查观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7
观察分式序列：
1. 符号规律：第1个为正，第2个为负，依次交替，可用$(-1)^{n+1}$表示；
2. 分子规律：$x$的次数依次为3,5,7,9···，即$2n+1$，故分子为$x^{2n+1}$；
3. 分母规律：$y$的次数依次为1,2,3,4···，即$n$，故分母为$y^n$。
综上，第$n$个分式为$ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $。
【答案】
$ (-1)^{n + 1} \dfrac{x^{2n + 1}}{y^n} $
【知识点】
分式规律探究、指数变化规律
【点评】
本题考查分式序列的规律探究，需分别分析符号、分子、分母的变化规律，再整合得出结果，着重考查观察与归纳能力。
【难度系数】
0.7
14. 若无论$x$为何值，分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x + m}$总有意义.求$m$的取值范围.
答案
14. 解：
∵分式 $ \dfrac{1}{x^2 - 4x + m} $ 总有意义，
∴ $ x^2 - 4x + m ≠ 0 $.
∵ $ x^2 - 4x + m = (x - 2)^2 + m - 4 $，
①若 $ (x - 2)^2 = 0 $，则 $ m - 4 ≠ 0 $，
∴ $ m ≠ 4 $；
②若 $ (x - 2)^2 ＞ 0 $，则 $ m - 4 ≥ 0 $，
∴ $ m ≥ 4 $.
综上， $ m ＞ 4 $.
∵分式 $ \dfrac{1}{x^2 - 4x + m} $ 总有意义，
∴ $ x^2 - 4x + m ≠ 0 $.
∵ $ x^2 - 4x + m = (x - 2)^2 + m - 4 $，
①若 $ (x - 2)^2 = 0 $，则 $ m - 4 ≠ 0 $，
∴ $ m ≠ 4 $；
②若 $ (x - 2)^2 ＞ 0 $，则 $ m - 4 ≥ 0 $，
∴ $ m ≥ 4 $.
综上， $ m ＞ 4 $.
解析
【解析】
∵分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x + m}$总有意义，
∴$x^2 - 4x + m ≠ 0$恒成立。
对$x^2 - 4x + m$配方可得：$x^2 - 4x + m=(x - 2)^2 + m - 4$。
由于$(x - 2)^2$为非负数：
①当$(x - 2)^2=0$时，要使$(x - 2)^2 + m - 4≠0$，则$m - 4≠0$，即$m≠4$；
②当$(x - 2)^2＞0$时，若$m - 4≥0$，则$(x - 2)^2 + m - 4＞0$恒成立，即$m≥4$；
综上，$m＞4$。
【答案】
$m＞4$
【知识点】
分式有意义的条件、配方法、非负数的性质
【点评】
本题考查分式有意义的条件，通过配方法将二次三项式转化为非负数与常数的和的形式，结合分类讨论思想确定参数取值范围，需熟练掌握分式分母不为零的核心要求及配方法的应用。
【难度系数】
0.6
∵分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x + m}$总有意义，
∴$x^2 - 4x + m ≠ 0$恒成立。
对$x^2 - 4x + m$配方可得：$x^2 - 4x + m=(x - 2)^2 + m - 4$。
由于$(x - 2)^2$为非负数：
①当$(x - 2)^2=0$时，要使$(x - 2)^2 + m - 4≠0$，则$m - 4≠0$，即$m≠4$；
②当$(x - 2)^2＞0$时，若$m - 4≥0$，则$(x - 2)^2 + m - 4＞0$恒成立，即$m≥4$；
综上，$m＞4$。
【答案】
$m＞4$
【知识点】
分式有意义的条件、配方法、非负数的性质
【点评】
本题考查分式有意义的条件，通过配方法将二次三项式转化为非负数与常数的和的形式，结合分类讨论思想确定参数取值范围，需熟练掌握分式分母不为零的核心要求及配方法的应用。
【难度系数】
0.6
