8. 下列计算结果正确的有()
①$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x} = \frac{1}{x}$；②$8a^2b^2 · (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^3$；③$\frac{a}{a^2 - 1} ÷ \frac{a^2}{a^2 + a} = \frac{1}{a - 1}$；
④$a ÷ b · \frac{1}{b} = a$；⑤$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a}) ÷ (a^2b^2) = \frac{1}{ab}$.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

8. D

【解析】
逐个计算验证每个式子：
①$\frac{3x}{x^2} · \frac{x}{3x} = \frac{3x·x}{x^2·3x} = \frac{1}{x}$，计算正确；
②$8a^2b^2 · (-\frac{3a}{4b^2}) = 8×(-\frac{3}{4})×a^2·a×\frac{b^2}{b^2} = -6a^3$，计算正确；
③$\frac{a}{a^2 - 1} ÷ \frac{a^2}{a^2 + a} = \frac{a}{(a-1)(a+1)} × \frac{a(a+1)}{a^2} = \frac{1}{a-1}$，计算正确；
④$a ÷ b · \frac{1}{b} = \frac{a}{b}·\frac{1}{b} = \frac{a}{b^2} ≠ a$，计算错误；
⑤$(-\frac{a^2}{b}) · (-\frac{b^2}{a}) ÷ (a^2b^2) = ab ÷ (a^2b^2) = \frac{1}{ab}$，计算正确；
综上，正确的有①②③⑤，共4个。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式乘除运算法则的应用，需严格遵循运算顺序，熟练运用因式分解进行约分，避免因运算顺序错误或约分不当出错。
【难度系数】
0.6

9. 已知$x - 3y = 0$，则$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)$的值为.

9. $\frac{7}{2}$

【解析】
先对原式化简：
$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2} · (x - y)=\frac{2x + y}{(x - y)^2}·(x - y)=\frac{2x + y}{x - y}$，
由$x - 3y = 0$得$x = 3y$，代入化简后的式子：
$\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$（$y≠0$，保证原式有意义）。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是先通过因式分解简化分式，再代入已知条件计算，需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.6

10. 计算：
(1) $(\frac{a^2b}{-cd})^3 ÷ \frac{2a}{d^3} · (\frac{c}{2a})^2$.
(2) $\frac{m - 2}{m - 3} · \frac{m^2 - 6m + 9}{m^2 - 4}$.

解：
(1)
$\begin{aligned}(\frac{a^2b}{-cd})^3 ÷ \frac{2a}{d^3} · (\frac{c}{2a})^2&=-\frac{a^6b^3}{c^3d^3} · \frac{d^3}{2a} · \frac{c^2}{4a^2}\\&=-\frac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^3 · 2a · 4a^2}\\&=-\frac{a^3b^3}{8c}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{m - 2}{m - 3} · \frac{m^2 - 6m + 9}{m^2 - 4}&=\frac{m - 2}{m - 3} · \frac{(m - 3)^2}{(m - 2)(m + 2)}\\&=\frac{m - 3}{m + 2}\end{aligned}$

【解析】
(1) 先计算乘方：
$(\frac{a^2b}{-cd})^3 = -\frac{a^6b^3}{c^3d^3}$，$(\frac{c}{2a})^2 = \frac{c^2}{4a^2}$
将除法转化为乘法后依次运算：
原式$= -\frac{a^6b^3}{c^3d^3} × \frac{d^3}{2a} × \frac{c^2}{4a^2}$
约分后得：$-\frac{a^{3}b^{3}}{8c}$
(2) 先对分子分母因式分解：
$m^2 - 6m + 9=(m-3)^2$，$m^2 - 4=(m-2)(m+2)$
代入原式约分：
原式$=\frac{m - 2}{m - 3} × \frac{(m-3)^2}{(m-2)(m+2)}$
约去公因式后得：$\frac{m - 3}{m + 2}$
【答案】
(1) $-\frac{a^{3}b^{3}}{8c}$；(2) $\frac{m - 3}{m + 2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式的乘方
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，需熟练掌握分式乘方、乘除运算法则，通过因式分解找公因式约分可简化运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

11. 阅读下面的解题过程，然后回答问题：
计算$\frac{1}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a - 2}{a + 2} · (4 - a^2)$.
解：$\frac{1}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a - 2}{a + 2} · (4 - a^2)$
$= \frac{1}{(a + 2)^2} ÷ \frac{a - 2}{a + 2} · (2 + a)(2 - a)$ ①
$= \frac{1}{(a + 2)^2} · \frac{a + 2}{a - 2} · (2 + a)(a - 2)$ ②
$= 1$ ③
解题过程中，第步出现错误，正确的解答是.

11. ② $-1$

【解析】
解题过程中第②步出现错误，错误在于将$(4 - a^2)$变形为$(2 + a)(a - 2)$，正确的变形应为$(4 - a^2)=(2+a)(2-a)=-(a+2)(a-2)$。
正确解答：
$\frac{1}{a^2 + 4a + 4} ÷ \frac{a - 2}{a + 2} · (4 - a^2)$
$=\frac{1}{(a+2)^2} ÷ \frac{a-2}{a+2} · (2+a)(2-a)$
$=\frac{1}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a-2} · (a+2)(2-a)$
$=\frac{1}{(a+2)^2} · \frac{a+2}{a-2} · (a+2)·[-(a-2)]$
$=-1$
【答案】
②；$-1$
【知识点】
分式乘除运算；平方差公式
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，需注意因式分解时平方差公式的符号处理，分式乘除为同级运算，应按从左到右的顺序计算，符号问题是本题的易错点，需仔细把握。
【难度系数】
0.6

12. 如图，一个长、宽、高分别为$a$，$b$，$2r$的长方体纸盒装满了一层半径为$r$的小球，则纸盒的空间利用率(小球总体积与纸箱容积的比)为.(结果保留$π$，球体积公式$V = \frac{4}{3}π r^3$)

12. $\frac{π}{6}$

【解析】
1. 计算小球个数：由图可知，长$a$方向可放$\frac{a}{2r}$个小球，宽$b$方向可放$\frac{b}{2r}$个小球，总个数为$\frac{a}{2r} · \frac{b}{2r}$。
2. 计算小球总体积：根据球体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，可得总体积$V_{总球} = \frac{a}{2r} · \frac{b}{2r} · \frac{4}{3}π r^3 = \frac{1}{3}π ab r$。
3. 计算纸盒容积：长方体纸盒容积$V_{纸盒}=a · b · 2r=2abr$。
4. 计算空间利用率：$\frac{V_{总球}}{V_{纸盒}} = \frac{\frac{1}{3}π ab r}{2abr} = \frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
球的体积公式、长方体体积公式、空间利用率计算
【点评】
本题考查立体图形的体积计算，需准确求出小球总个数及总体积，进而计算体积比值。
【难度系数】
0.6